Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16815 / 14906
↖ ↑ ↗
← N 79.908042°
W133.816223°		 ← 53.52 m → N 79.908042°
W133.813477°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.907561°
W133.816223°		 ← 53.52 m →
2 864 m²		 N 79.907561°
W133.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128292083740234 y=0.113727569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128292083740234 × 217)
    floor (0.128292083740234 × 131072)
    floor (16815.5)     		tx = 16815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113727569580078 × 217)
    floor (0.113727569580078 × 131072)
    floor (14906.5)     		ty = 14906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16815 / 14906 ti = "17/16815/14906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16815/14906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16815 ÷ 217
    16815 ÷ 131072     		x = 0.128288269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14906 ÷ 217
    14906 ÷ 131072     		y = 0.113723754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128288269042969 × 2 - 1) × π
    -0.743423461914062 × 3.1415926535     		Λ = -2.33553369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113723754882812 × 2 - 1) × π
    0.772552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42704522776344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33553369} λ = -2.33553369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42704522776344))-π/2
    2×atan(11.3253687071678)-π/2
    2×1.48272738103009-π/2
    2.96545476206018-1.57079632675     		φ = 1.39465844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33553369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.816223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39465844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.908042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16815 KachelY 14906 -2.33553369 1.39465844 -133.816223 79.908042
    Oben rechts KachelX + 1 16816 KachelY 14906 -2.33548575 1.39465844 -133.813477 79.908042
    Unten links KachelX 16815 KachelY + 1 14907 -2.33553369 1.39465004 -133.816223 79.907561
    Unten rechts KachelX + 1 16816 KachelY + 1 14907 -2.33548575 1.39465004 -133.813477 79.907561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39465844-1.39465004) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39465844-1.39465004) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33553369--2.33548575) × cos(1.39465844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175228531960589 × 6371000     		do = 53.5193040431414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33553369--2.33548575) × cos(1.39465004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17523680198781 × 6371000     		du = 53.5218299223252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39465844)-sin(1.39465004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175228531960589-0.17523680198781)×R²
    abs(-2.33548575--2.33553369)×8.27002722103565e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27002722103565e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27002722103565e-06×40589641000000     		ar = 2864.22807088322m²