Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16813 / 49829
↖ ↑ ↗
← N 39.561236°
W133.821716°		 ← 235.47 m → N 39.561236°
W133.818970°		 →
↑
235.47 m
↓
↑
235.47 m
↓
N 39.559118°
W133.821716°		 ← 235.47 m →
55 447 m²		 N 39.559118°
W133.818970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128276824951172 y=0.380168914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128276824951172 × 217)
    floor (0.128276824951172 × 131072)
    floor (16813.5)     		tx = 16813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380168914794922 × 217)
    floor (0.380168914794922 × 131072)
    floor (49829.5)     		ty = 49829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16813 / 49829 ti = "17/16813/49829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16813/49829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16813 ÷ 217
    16813 ÷ 131072     		x = 0.128273010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49829 ÷ 217
    49829 ÷ 131072     		y = 0.380165100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128273010253906 × 2 - 1) × π
    -0.743453979492188 × 3.1415926535     		Λ = -2.33562956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380165100097656 × 2 - 1) × π
    0.239669799804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.752944882332222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33562956} λ = -2.33562956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752944882332222))-π/2
    2×atan(2.12324352124)-π/2
    2×1.13063507326741-π/2
    2.26127014653482-1.57079632675     		φ = 0.69047382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33562956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.821716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69047382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.561236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16813 KachelY 49829 -2.33562956 0.69047382 -133.821716 39.561236
    Oben rechts KachelX + 1 16814 KachelY 49829 -2.33558162 0.69047382 -133.818970 39.561236
    Unten links KachelX 16813 KachelY + 1 49830 -2.33562956 0.69043686 -133.821716 39.559118
    Unten rechts KachelX + 1 16814 KachelY + 1 49830 -2.33558162 0.69043686 -133.818970 39.559118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69047382-0.69043686) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dl = 235.472159999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69047382-0.69043686) × R
    3.69599999999748e-05 × 6371000     		dr = 235.472159999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33562956--2.33558162) × cos(0.69047382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770944324386268 × 6371000     		do = 235.466240774322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33562956--2.33558162) × cos(0.69043686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.770967863777664 × 6371000     		du = 235.473430310358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69047382)-sin(0.69043686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770944324386268-0.770967863777664)×R²
    abs(-2.33558162--2.33562956)×2.3539391395988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3539391395988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3539391395988e-05×40589641000000     		ar = 55446.5907963244m²