Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16810 / 17423
↖ ↑ ↗
← S 11.340025°
E  4.680176°		 ← 1 197.73 m → S 11.340025°
E  4.691162°		 →
↑
1 197.81 m
↓
↑
1 197.81 m
↓
S 11.350797°
E  4.680176°		 ← 1 197.68 m →
1 434 625 m²		 S 11.350797°
E  4.691162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513015747070312 y=0.531723022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513015747070312 × 215)
    floor (0.513015747070312 × 32768)
    floor (16810.5)     		tx = 16810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531723022460938 × 215)
    floor (0.531723022460938 × 32768)
    floor (17423.5)     		ty = 17423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16810 / 17423 ti = "15/16810/17423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16810/17423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16810 ÷ 215
    16810 ÷ 32768     		x = 0.51300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17423 ÷ 215
    17423 ÷ 32768     		y = 0.531707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51300048828125 × 2 - 1) × π
    0.0260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08168448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531707763671875 × 2 - 1) × π
    -0.06341552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.199225754820953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08168448} λ = 0.08168448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199225754820953))-π/2
    2×atan(0.819364896876201)-π/2
    2×0.686437775969088-π/2
    1.37287555193818-1.57079632675     		φ = -0.19792077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08168448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19792077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.340025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16810 KachelY 17423 0.08168448 -0.19792077 4.680176 -11.340025
    Oben rechts KachelX + 1 16811 KachelY 17423 0.08187622 -0.19792077 4.691162 -11.340025
    Unten links KachelX 16810 KachelY + 1 17424 0.08168448 -0.19810878 4.680176 -11.350797
    Unten rechts KachelX + 1 16811 KachelY + 1 17424 0.08187622 -0.19810878 4.691162 -11.350797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19792077--0.19810878) × R
    0.000188010000000016 × 6371000     		dl = 1197.8117100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19792077--0.19810878) × R
    0.000188010000000016 × 6371000     		dr = 1197.8117100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08168448-0.08187622) × cos(-0.19792077) × R
    0.000191739999999996 × 0.9804775382664 × 6371000     		do = 1197.72737826562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08168448-0.08187622) × cos(-0.19810878) × R
    0.000191739999999996 × 0.980440552321094 × 6371000     		du = 1197.68219713951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19792077)-sin(-0.19810878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9804775382664-0.980440552321094)×R²
    abs(0.08187622-0.08168448)×3.69859453058785e-05×R²
    0.000191739999999996×3.69859453058785e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.69859453058785e-05×40589641000000     		ar = 1434624.82405908m²