Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16809 / 17426
↖ ↑ ↗
← S 11.372339°
E  4.669189°		 ← 1 197.65 m → S 11.372339°
E  4.680176°		 →
↑
1 197.56 m
↓
↑
1 197.56 m
↓
S 11.383109°
E  4.669189°		 ← 1 197.61 m →
1 434 232 m²		 S 11.383109°
E  4.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512985229492188 y=0.531814575195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512985229492188 × 215)
    floor (0.512985229492188 × 32768)
    floor (16809.5)     		tx = 16809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531814575195312 × 215)
    floor (0.531814575195312 × 32768)
    floor (17426.5)     		ty = 17426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16809 / 17426 ti = "15/16809/17426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16809/17426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16809 ÷ 215
    16809 ÷ 32768     		x = 0.512969970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17426 ÷ 215
    17426 ÷ 32768     		y = 0.53179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512969970703125 × 2 - 1) × π
    0.02593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08149273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53179931640625 × 2 - 1) × π
    -0.0635986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.199800997616394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08149273} λ = 0.08149273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199800997616394))-π/2
    2×atan(0.818893698662118)-π/2
    2×0.686155785612679-π/2
    1.37231157122536-1.57079632675     		φ = -0.19848476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08149273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.669189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19848476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.372339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16809 KachelY 17426 0.08149273 -0.19848476 4.669189 -11.372339
    Oben rechts KachelX + 1 16810 KachelY 17426 0.08168448 -0.19848476 4.680176 -11.372339
    Unten links KachelX 16809 KachelY + 1 17427 0.08149273 -0.19867273 4.669189 -11.383109
    Unten rechts KachelX + 1 16810 KachelY + 1 17427 0.08168448 -0.19867273 4.680176 -11.383109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19848476--0.19867273) × R
    0.000187969999999982 × 6371000     		dl = 1197.55686999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19848476--0.19867273) × R
    0.000187969999999982 × 6371000     		dr = 1197.55686999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08149273-0.08168448) × cos(-0.19848476) × R
    0.000191750000000004 × 0.980366484350022 × 6371000     		do = 1197.65417666653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08149273-0.08168448) × cos(-0.19867273) × R
    0.000191750000000004 × 0.980329402341619 × 6371000     		du = 1197.60887582959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19848476)-sin(-0.19867273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980366484350022-0.980329402341619)×R²
    abs(0.08168448-0.08149273)×3.70820084035772e-05×R²
    0.000191750000000004×3.70820084035772e-05×6371000²
    0.000191750000000004×3.70820084035772e-05×40589641000000     		ar = 1434231.86620975m²