Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16807 / 49683
↖ ↑ ↗
← N 39.869696°
W133.838196°		 ← 234.42 m → N 39.869696°
W133.835449°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
N 39.867588°
W133.838196°		 ← 234.42 m →
54 945 m²		 N 39.867588°
W133.835449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128231048583984 y=0.379055023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128231048583984 × 217)
    floor (0.128231048583984 × 131072)
    floor (16807.5)     		tx = 16807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379055023193359 × 217)
    floor (0.379055023193359 × 131072)
    floor (49683.5)     		ty = 49683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16807 / 49683 ti = "17/16807/49683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16807/49683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16807 ÷ 217
    16807 ÷ 131072     		x = 0.128227233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49683 ÷ 217
    49683 ÷ 131072     		y = 0.379051208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128227233886719 × 2 - 1) × π
    -0.743545532226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.33591718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379051208496094 × 2 - 1) × π
    0.241897583007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.75994366967675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33591718} λ = -2.33591718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75994366967675))-π/2
    2×atan(2.13815577409854)-π/2
    2×1.13332689399791-π/2
    2.26665378799582-1.57079632675     		φ = 0.69585746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33591718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.838196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69585746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.869696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16807 KachelY 49683 -2.33591718 0.69585746 -133.838196 39.869696
    Oben rechts KachelX + 1 16808 KachelY 49683 -2.33586924 0.69585746 -133.835449 39.869696
    Unten links KachelX 16807 KachelY + 1 49684 -2.33591718 0.69582067 -133.838196 39.867588
    Unten rechts KachelX + 1 16808 KachelY + 1 49684 -2.33586924 0.69582067 -133.835449 39.867588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69585746-0.69582067) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dl = 234.389090000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69585746-0.69582067) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dr = 234.389090000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33591718--2.33586924) × cos(0.69585746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.767504314609393 × 6371000     		do = 234.415573242613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33591718--2.33586924) × cos(0.69582067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.76752789809062 × 6371000     		du = 234.422776244818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69585746)-sin(0.69582067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767504314609393-0.76752789809062)×R²
    abs(-2.33586924--2.33591718)×2.35834812272184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35834812272184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35834812272184e-05×40589641000000     		ar = 54945.2970529712m²