Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16804 / 15138
↖ ↑ ↗
← N 79.795772°
W133.846435°		 ← 54.10 m → N 79.795772°
W133.843689°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
N 79.795286°
W133.846435°		 ← 54.10 m →
2 926 m²		 N 79.795286°
W133.843689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128208160400391 y=0.115497589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128208160400391 × 217)
    floor (0.128208160400391 × 131072)
    floor (16804.5)     		tx = 16804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115497589111328 × 217)
    floor (0.115497589111328 × 131072)
    floor (15138.5)     		ty = 15138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16804 / 15138 ti = "17/16804/15138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16804/15138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16804 ÷ 217
    16804 ÷ 131072     		x = 0.128204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15138 ÷ 217
    15138 ÷ 131072     		y = 0.115493774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.74359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33606099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115493774414062 × 2 - 1) × π
    0.769012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41592386705159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33606099} λ = -2.33606099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41592386705159))-π/2
    2×atan(11.200112994576)-π/2
    2×1.48174763781308-π/2
    2.96349527562616-1.57079632675     		φ = 1.39269895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33606099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.846435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39269895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.795772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16804 KachelY 15138 -2.33606099 1.39269895 -133.846435 79.795772
    Oben rechts KachelX + 1 16805 KachelY 15138 -2.33601306 1.39269895 -133.843689 79.795772
    Unten links KachelX 16804 KachelY + 1 15139 -2.33606099 1.39269046 -133.846435 79.795286
    Unten rechts KachelX + 1 16805 KachelY + 1 15139 -2.33601306 1.39269046 -133.843689 79.795286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39269895-1.39269046) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dl = 54.0897899994688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39269895-1.39269046) × R
    8.48999999991662e-06 × 6371000     		dr = 54.0897899994688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33606099--2.33601306) × cos(1.39269895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177157366673895 × 6371000     		do = 54.0971331170281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33606099--2.33601306) × cos(1.39269046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177165722377255 × 6371000     		du = 54.0996846315681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39269895)-sin(1.39269046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177157366673895-0.177165722377255)×R²
    abs(-2.33601306--2.33606099)×8.35570335977476e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.35570335977476e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.35570335977476e-06×40589641000000     		ar = 2926.171575529m²