Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16801 / 50721
↖ ↑ ↗
← S 69.720011°
W 87.709350°		 ← 211.70 m → S 69.720011°
W 87.703857°		 →
↑
211.71 m
↓
↑
211.71 m
↓
S 69.721915°
W 87.709350°		 ← 211.68 m →
44 817 m²		 S 69.721915°
W 87.703857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256370544433594 y=0.773948669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256370544433594 × 216)
    floor (0.256370544433594 × 65536)
    floor (16801.5)     		tx = 16801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773948669433594 × 216)
    floor (0.773948669433594 × 65536)
    floor (50721.5)     		ty = 50721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16801 / 50721 ti = "16/16801/50721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16801/50721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16801 ÷ 216
    16801 ÷ 65536     		x = 0.256362915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50721 ÷ 216
    50721 ÷ 65536     		y = 0.773941040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256362915039062 × 2 - 1) × π
    -0.487274169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53081695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773941040039062 × 2 - 1) × π
    -0.547882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72122231775774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53081695} λ = -1.53081695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72122231775774))-π/2
    2×atan(0.178847405892453)-π/2
    2×0.176976292264894-π/2
    0.353952584529788-1.57079632675     		φ = -1.21684374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53081695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.709350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21684374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.720011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16801 KachelY 50721 -1.53081695 -1.21684374 -87.709350 -69.720011
    Oben rechts KachelX + 1 16802 KachelY 50721 -1.53072108 -1.21684374 -87.703857 -69.720011
    Unten links KachelX 16801 KachelY + 1 50722 -1.53081695 -1.21687697 -87.709350 -69.721915
    Unten rechts KachelX + 1 16802 KachelY + 1 50722 -1.53072108 -1.21687697 -87.703857 -69.721915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21684374--1.21687697) × R
    3.32299999998842e-05 × 6371000     		dl = 211.708329999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21684374--1.21687697) × R
    3.32299999998842e-05 × 6371000     		dr = 211.708329999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53081695--1.53072108) × cos(-1.21684374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346608071435017 × 6371000     		do = 211.70397101579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53081695--1.53072108) × cos(-1.21687697) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346576901169855 × 6371000     		du = 211.684932599041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21684374)-sin(-1.21687697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346608071435017-0.346576901169855)×R²
    abs(-1.53072108--1.53081695)×3.11702651628054e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11702651628054e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11702651628054e-05×40589641000000     		ar = 44817.4788662912m²