Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16800 / 50720
↖ ↑ ↗
← S 69.718107°
W 87.714844°		 ← 211.75 m → S 69.718107°
W 87.709350°		 →
↑
211.71 m
↓
↑
211.71 m
↓
S 69.720011°
W 87.714844°		 ← 211.73 m →
44 826 m²		 S 69.720011°
W 87.709350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256355285644531 y=0.773933410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256355285644531 × 216)
    floor (0.256355285644531 × 65536)
    floor (16800.5)     		tx = 16800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773933410644531 × 216)
    floor (0.773933410644531 × 65536)
    floor (50720.5)     		ty = 50720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16800 / 50720 ti = "16/16800/50720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16800/50720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16800 ÷ 216
    16800 ÷ 65536     		x = 0.25634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50720 ÷ 216
    50720 ÷ 65536     		y = 0.77392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53091283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53091283} λ = -1.53091283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7211264439585))-π/2
    2×atan(0.17886455349473)-π/2
    2×0.176992908328252-π/2
    0.353985816656504-1.57079632675     		φ = -1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53091283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16800 KachelY 50720 -1.53091283 -1.21681051 -87.714844 -69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 16801 KachelY 50720 -1.53081695 -1.21681051 -87.709350 -69.718107
    Unten links KachelX 16800 KachelY + 1 50721 -1.53091283 -1.21684374 -87.714844 -69.720011
    Unten rechts KachelX + 1 16801 KachelY + 1 50721 -1.53081695 -1.21684374 -87.709350 -69.720011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21681051--1.21684374) × R
    3.32300000001062e-05 × 6371000     		dl = 211.708330000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21681051--1.21684374) × R
    3.32300000001062e-05 × 6371000     		dr = 211.708330000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53091283--1.53081695) × cos(-1.21681051) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 211.745093584699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53091283--1.53081695) × cos(-1.21684374) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346608071435017 × 6371000     		du = 211.726053415887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21681051)-sin(-1.21684374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.346608071435017)×R²
    abs(-1.53081695--1.53091283)×3.11698824269069e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.11698824269069e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.11698824269069e-05×40589641000000     		ar = 44826.1846717251m²