Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16800 / 49632
↖ ↑ ↗
← N 39.977120°
W133.857422°		 ← 234.05 m → N 39.977120°
W133.854675°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
N 39.975016°
W133.857422°		 ← 234.06 m →
54 770 m²		 N 39.975016°
W133.854675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128177642822266 y=0.378665924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128177642822266 × 217)
    floor (0.128177642822266 × 131072)
    floor (16800.5)     		tx = 16800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378665924072266 × 217)
    floor (0.378665924072266 × 131072)
    floor (49632.5)     		ty = 49632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16800 / 49632 ti = "17/16800/49632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16800/49632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16800 ÷ 217
    16800 ÷ 131072     		x = 0.128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49632 ÷ 217
    49632 ÷ 131072     		y = 0.378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.74365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33625274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.762388451557373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33625274} λ = -2.33625274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762388451557373))-π/2
    2×atan(2.14338949363755)-π/2
    2×1.13426434898058-π/2
    2.26852869796117-1.57079632675     		φ = 0.69773237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33625274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.857422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69773237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.977120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16800 KachelY 49632 -2.33625274 0.69773237 -133.857422 39.977120
    Oben rechts KachelX + 1 16801 KachelY 49632 -2.33620480 0.69773237 -133.854675 39.977120
    Unten links KachelX 16800 KachelY + 1 49633 -2.33625274 0.69769564 -133.857422 39.975016
    Unten rechts KachelX + 1 16801 KachelY + 1 49633 -2.33620480 0.69769564 -133.854675 39.975016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69773237-0.69769564) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69773237-0.69769564) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33625274--2.33620480) × cos(0.69773237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766301066922434 × 6371000     		do = 234.04807042742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33625274--2.33620480) × cos(0.69769564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.766324664756649 × 6371000     		du = 234.055277813398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69773237)-sin(0.69769564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766301066922434-0.766324664756649)×R²
    abs(-2.33620480--2.33625274)×2.35978342149057e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35978342149057e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35978342149057e-05×40589641000000     		ar = 54769.6903233177m²