Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1680 / 850
↖ ↑ ↗
← N 29.228890°
E115.312500°		 ← 17.057 km → N 29.228890°
E115.488282°		 →
↑
17.070 km
↓
↑
17.070 km
↓
N 29.075375°
E115.312500°		 ← 17.083 km →
291.388 km²		 N 29.075375°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820556640625 y=0.415283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820556640625 × 211)
    floor (0.820556640625 × 2048)
    floor (1680.5)     		tx = 1680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415283203125 × 211)
    floor (0.415283203125 × 2048)
    floor (850.5)     		ty = 850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1680 / 850 ti = "11/1680/850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1680/850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1680 ÷ 211
    1680 ÷ 2048     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 850 ÷ 211
    850 ÷ 2048     		y = 0.4150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4150390625 × 2 - 1) × π
    0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533825314168945))-π/2
    2×atan(1.70544370457828)-π/2
    2×1.04046834725591-π/2
    2.08093669451182-1.57079632675     		φ = 0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1680 KachelY 850 2.01258279 0.51014037 115.312500 29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 1681 KachelY 850 2.01565076 0.51014037 115.488282 29.228890
    Unten links KachelX 1680 KachelY + 1 851 2.01258279 0.50746103 115.312500 29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 1681 KachelY + 1 851 2.01565076 0.50746103 115.488282 29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51014037-0.50746103) × R
    0.00267934000000003 × 6371000     		dl = 17070.0751400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51014037-0.50746103) × R
    0.00267934000000003 × 6371000     		dr = 17070.0751400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01565076) × cos(0.51014037) × R
    0.00306797000000003 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 17057.3567556988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01565076) × cos(0.50746103) × R
    0.00306797000000003 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 17082.8679904088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51014037)-sin(0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.873981160683682)×R²
    abs(2.01565076-2.01258279)×0.00130518707601512×R²
    0.00306797000000003×0.00130518707601512×6371000²
    0.00306797000000003×0.00130518707601512×40589641000000     		ar = 291388275.176002m²