Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1680 / 431
↖ ↑ ↗
← N 80.430330°
W 32.343750°		 ← 1 624.73 m → N 80.430330°
W 32.255859°		 →
↑
1 625.94 m
↓
↑
1 625.94 m
↓
N 80.415708°
W 32.343750°		 ← 1 627.19 m →
2 643 714 m²		 N 80.415708°
W 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4102783203125 y=0.1053466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4102783203125 × 212)
    floor (0.4102783203125 × 4096)
    floor (1680.5)     		tx = 1680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1053466796875 × 212)
    floor (0.1053466796875 × 4096)
    floor (431.5)     		ty = 431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1680 / 431 ti = "12/1680/431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1680/431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1680 ÷ 212
    1680 ÷ 4096     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 431 ÷ 212
    431 ÷ 4096     		y = 0.105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105224609375 × 2 - 1) × π
    0.78955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48044693394019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48044693394019))-π/2
    2×atan(11.9466025670173)-π/2
    2×1.48728520217254-π/2
    2.97457040434509-1.57079632675     		φ = 1.40377408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40377408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.430330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1680 KachelY 431 -0.56450493 1.40377408 -32.343750 80.430330
    Oben rechts KachelX + 1 1681 KachelY 431 -0.56297095 1.40377408 -32.255859 80.430330
    Unten links KachelX 1680 KachelY + 1 432 -0.56450493 1.40351887 -32.343750 80.415708
    Unten rechts KachelX + 1 1681 KachelY + 1 432 -0.56297095 1.40351887 -32.255859 80.415708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40377408-1.40351887) × R
    0.00025520999999995 × 6371000     		dl = 1625.94290999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40377408-1.40351887) × R
    0.00025520999999995 × 6371000     		dr = 1625.94290999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56297095) × cos(1.40377408) × R
    0.00153398000000005 × 0.166246775135035 × 6371000     		do = 1624.72750236302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56297095) × cos(1.40351887) × R
    0.00153398000000005 × 0.166498428261839 × 6371000     		du = 1627.18690499409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40377408)-sin(1.40351887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166246775135035-0.166498428261839)×R²
    abs(-0.56297095--0.56450493)×0.000251653126804058×R²
    0.00153398000000005×0.000251653126804058×6371000²
    0.00153398000000005×0.000251653126804058×40589641000000     		ar = 2643713.60163143m²