Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1680 / 335
↖ ↑ ↗
← N 81.735831°
W 32.343750°		 ← 1 404.74 m → N 81.735831°
W 32.255859°		 →
↑
1 405.82 m
↓
↑
1 405.82 m
↓
N 81.723188°
W 32.343750°		 ← 1 406.88 m →
1 976 323 m²		 N 81.723188°
W 32.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4102783203125 y=0.0819091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4102783203125 × 212)
    floor (0.4102783203125 × 4096)
    floor (1680.5)     		tx = 1680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819091796875 × 212)
    floor (0.0819091796875 × 4096)
    floor (335.5)     		ty = 335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1680 / 335 ti = "12/1680/335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1680/335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1680 ÷ 212
    1680 ÷ 4096     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 335 ÷ 212
    335 ÷ 4096     		y = 0.081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.081787109375 × 2 - 1) × π
    0.83642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.627709089573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.627709089573))-π/2
    2×atan(13.842022716863)-π/2
    2×1.49867784187199-π/2
    2.99735568374397-1.57079632675     		φ = 1.42655936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42655936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.735831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1680 KachelY 335 -0.56450493 1.42655936 -32.343750 81.735831
    Oben rechts KachelX + 1 1681 KachelY 335 -0.56297095 1.42655936 -32.255859 81.735831
    Unten links KachelX 1680 KachelY + 1 336 -0.56450493 1.42633870 -32.343750 81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 1681 KachelY + 1 336 -0.56297095 1.42633870 -32.255859 81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42655936-1.42633870) × R
    0.000220659999999873 × 6371000     		dl = 1405.82485999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42655936-1.42633870) × R
    0.000220659999999873 × 6371000     		dr = 1405.82485999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56297095) × cos(1.42655936) × R
    0.00153398000000005 × 0.1437373618578 × 6371000     		do = 1404.74330848092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56297095) × cos(1.42633870) × R
    0.00153398000000005 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 1406.87738803269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42655936)-sin(1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1437373618578-0.143955726994628)×R²
    abs(-0.56297095--0.56450493)×0.00021836513682838×R²
    0.00153398000000005×0.00021836513682838×6371000²
    0.00153398000000005×0.00021836513682838×40589641000000     		ar = 1976323.14403958m²