Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1680 / 1569
↖ ↑ ↗
← S 68.720440°
E115.312500°		 ← 7 093.62 m → S 68.720440°
E115.488282°		 →
↑
7 083.47 m
↓
↑
7 083.47 m
↓
S 68.784144°
E115.312500°		 ← 7 073.37 m →
50 175 739 m²		 S 68.784144°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820556640625 y=0.766357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820556640625 × 211)
    floor (0.820556640625 × 2048)
    floor (1680.5)     		tx = 1680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766357421875 × 211)
    floor (0.766357421875 × 2048)
    floor (1569.5)     		ty = 1569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1680 / 1569 ti = "11/1680/1569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1680/1569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1680 ÷ 211
    1680 ÷ 2048     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1569 ÷ 211
    1569 ÷ 2048     		y = 0.76611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76611328125 × 2 - 1) × π
    -0.5322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67203905874756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67203905874756))-π/2
    2×atan(0.187863609890113)-π/2
    2×0.185699187723214-π/2
    0.371398375446427-1.57079632675     		φ = -1.19939795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19939795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.720440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1680 KachelY 1569 2.01258279 -1.19939795 115.312500 -68.720440
    Oben rechts KachelX + 1 1681 KachelY 1569 2.01565076 -1.19939795 115.488282 -68.720440
    Unten links KachelX 1680 KachelY + 1 1570 2.01258279 -1.20050978 115.312500 -68.784144
    Unten rechts KachelX + 1 1681 KachelY + 1 1570 2.01565076 -1.20050978 115.488282 -68.784144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19939795--1.20050978) × R
    0.00111182999999992 × 6371000     		dl = 7083.46892999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19939795--1.20050978) × R
    0.00111182999999992 × 6371000     		dr = 7083.46892999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01565076) × cos(-1.19939795) × R
    0.00306797000000003 × 0.362918822903626 × 6371000     		do = 7093.62469329135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01565076) × cos(-1.20050978) × R
    0.00306797000000003 × 0.361882572528031 × 6371000     		du = 7073.37010524342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19939795)-sin(-1.20050978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362918822903626-0.361882572528031)×R²
    abs(2.01565076-2.01258279)×0.0010362503755949×R²
    0.00306797000000003×0.0010362503755949×6371000²
    0.00306797000000003×0.0010362503755949×40589641000000     		ar = 50175738.9122305m²