Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16798 / 49635
↖ ↑ ↗
← N 39.970805°
W133.862915°		 ← 234.02 m → N 39.970805°
W133.860169°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
N 39.968701°
W133.862915°		 ← 234.03 m →
54 763 m²		 N 39.968701°
W133.860169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128162384033203 y=0.378688812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128162384033203 × 217)
    floor (0.128162384033203 × 131072)
    floor (16798.5)     		tx = 16798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378688812255859 × 217)
    floor (0.378688812255859 × 131072)
    floor (49635.5)     		ty = 49635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16798 / 49635 ti = "17/16798/49635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16798/49635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16798 ÷ 217
    16798 ÷ 131072     		x = 0.128158569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49635 ÷ 217
    49635 ÷ 131072     		y = 0.378684997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128158569335938 × 2 - 1) × π
    -0.743682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33634861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378684997558594 × 2 - 1) × π
    0.242630004882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.762244640858513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33634861} λ = -2.33634861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762244640858513))-π/2
    2×atan(2.14308127345975)-π/2
    2×1.13420924528913-π/2
    2.26841849057826-1.57079632675     		φ = 0.69762216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33634861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69762216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.970805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16798 KachelY 49635 -2.33634861 0.69762216 -133.862915 39.970805
    Oben rechts KachelX + 1 16799 KachelY 49635 -2.33630068 0.69762216 -133.860169 39.970805
    Unten links KachelX 16798 KachelY + 1 49636 -2.33634861 0.69758543 -133.862915 39.968701
    Unten rechts KachelX + 1 16799 KachelY + 1 49636 -2.33630068 0.69758543 -133.860169 39.968701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69762216-0.69758543) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69762216-0.69758543) × R
    3.67300000000403e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33634861--2.33630068) × cos(0.69762216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766371870171461 × 6371000     		do = 234.020870010597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33634861--2.33630068) × cos(0.69758543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766395464903488 × 6371000     		du = 234.028074945866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69762216)-sin(0.69758543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766371870171461-0.766395464903488)×R²
    abs(-2.33630068--2.33634861)×2.35947320269547e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35947320269547e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35947320269547e-05×40589641000000     		ar = 54763.3249531988m²