Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16794 / 17421
↖ ↑ ↗
← S 11.318480°
E  4.504395°		 ← 1 197.82 m → S 11.318480°
E  4.515381°		 →
↑
1 197.88 m
↓
↑
1 197.88 m
↓
S 11.329253°
E  4.504395°		 ← 1 197.77 m →
1 434 809 m²		 S 11.329253°
E  4.515381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512527465820312 y=0.531661987304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512527465820312 × 215)
    floor (0.512527465820312 × 32768)
    floor (16794.5)     		tx = 16794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531661987304688 × 215)
    floor (0.531661987304688 × 32768)
    floor (17421.5)     		ty = 17421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16794 / 17421 ti = "15/16794/17421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16794/17421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16794 ÷ 215
    16794 ÷ 32768     		x = 0.51251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17421 ÷ 215
    17421 ÷ 32768     		y = 0.531646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51251220703125 × 2 - 1) × π
    0.0250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07861652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.06329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.198842259623993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07861652} λ = 0.07861652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198842259623993))-π/2
    2×atan(0.819679179637824)-π/2
    2×0.686625787266405-π/2
    1.37325157453281-1.57079632675     		φ = -0.19754475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07861652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.504395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19754475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.318480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16794 KachelY 17421 0.07861652 -0.19754475 4.504395 -11.318480
    Oben rechts KachelX + 1 16795 KachelY 17421 0.07880826 -0.19754475 4.515381 -11.318480
    Unten links KachelX 16794 KachelY + 1 17422 0.07861652 -0.19773277 4.504395 -11.329253
    Unten rechts KachelX + 1 16795 KachelY + 1 17422 0.07880826 -0.19773277 4.515381 -11.329253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19754475--0.19773277) × R
    0.000188020000000011 × 6371000     		dl = 1197.87542000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19754475--0.19773277) × R
    0.000188020000000011 × 6371000     		dr = 1197.87542000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07861652-0.07880826) × cos(-0.19754475) × R
    0.00019174000000001 × 0.980551406182651 × 6371000     		do = 1197.81761350539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07861652-0.07880826) × cos(-0.19773277) × R
    0.00019174000000001 × 0.980514487589553 × 6371000     		du = 1197.77251465509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19754475)-sin(-0.19773277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980551406182651-0.980514487589553)×R²
    abs(0.07880826-0.07861652)×3.69185930979565e-05×R²
    0.00019174000000001×3.69185930979565e-05×6371000²
    0.00019174000000001×3.69185930979565e-05×40589641000000     		ar = 1434809.26968591m²