Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16793 / 17417
↖ ↑ ↗
← S 11.275387°
E  4.493408°		 ← 1 198.06 m → S 11.275387°
E  4.504395°		 →
↑
1 198.07 m
↓
↑
1 198.07 m
↓
S 11.286161°
E  4.493408°		 ← 1 198.02 m →
1 435 329 m²		 S 11.286161°
E  4.504395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512496948242188 y=0.531539916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512496948242188 × 215)
    floor (0.512496948242188 × 32768)
    floor (16793.5)     		tx = 16793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531539916992188 × 215)
    floor (0.531539916992188 × 32768)
    floor (17417.5)     		ty = 17417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16793 / 17417 ti = "15/16793/17417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16793/17417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16793 ÷ 215
    16793 ÷ 32768     		x = 0.512481689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17417 ÷ 215
    17417 ÷ 32768     		y = 0.531524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512481689453125 × 2 - 1) × π
    0.02496337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07842477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.06304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.198075269230072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07842477} λ = 0.07842477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198075269230072))-π/2
    2×atan(0.820308106854438)-π/2
    2×0.687001852289512-π/2
    1.37400370457902-1.57079632675     		φ = -0.19679262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07842477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.493408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19679262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.275387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16793 KachelY 17417 0.07842477 -0.19679262 4.493408 -11.275387
    Oben rechts KachelX + 1 16794 KachelY 17417 0.07861652 -0.19679262 4.504395 -11.275387
    Unten links KachelX 16793 KachelY + 1 17418 0.07842477 -0.19698067 4.493408 -11.286161
    Unten rechts KachelX + 1 16794 KachelY + 1 17418 0.07861652 -0.19698067 4.504395 -11.286161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19679262--0.19698067) × R
    0.000188049999999995 × 6371000     		dl = 1198.06654999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19679262--0.19698067) × R
    0.000188049999999995 × 6371000     		dr = 1198.06654999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07842477-0.07861652) × cos(-0.19679262) × R
    0.000191749999999991 × 0.980698743678425 × 6371000     		do = 1198.06007770319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07842477-0.07861652) × cos(-0.19698067) × R
    0.000191749999999991 × 0.980661957887019 × 6371000     		du = 1198.01513873657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19679262)-sin(-0.19698067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980698743678425-0.980661957887019)×R²
    abs(0.07861652-0.07842477)×3.6785791406535e-05×R²
    0.000191749999999991×3.6785791406535e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.6785791406535e-05×40589641000000     		ar = 1435328.78827992m²