Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1679 / 1570
↖ ↑ ↗
← S 68.784144°
E115.136719°		 ← 7 073.35 m → S 68.784144°
E115.312500°		 →
↑
7 063.27 m
↓
↑
7 063.27 m
↓
S 68.847665°
E115.136719°		 ← 7 053.14 m →
49 889 627 m²		 S 68.847665°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820068359375 y=0.766845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820068359375 × 211)
    floor (0.820068359375 × 2048)
    floor (1679.5)     		tx = 1679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766845703125 × 211)
    floor (0.766845703125 × 2048)
    floor (1570.5)     		ty = 1570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1679 / 1570 ti = "11/1679/1570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1679/1570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1679 ÷ 211
    1679 ÷ 2048     		x = 0.81982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1570 ÷ 211
    1570 ÷ 2048     		y = 0.7666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81982421875 × 2 - 1) × π
    0.6396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.00951483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    -0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00951483} λ = 2.00951483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67510702032324))-π/2
    2×atan(0.187288134772658)-π/2
    2×0.1851432723394-π/2
    0.370286544678801-1.57079632675     		φ = -1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00951483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1679 KachelY 1570 2.00951483 -1.20050978 115.136719 -68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 1680 KachelY 1570 2.01258279 -1.20050978 115.312500 -68.784144
    Unten links KachelX 1679 KachelY + 1 1571 2.00951483 -1.20161844 115.136719 -68.847665
    Unten rechts KachelX + 1 1680 KachelY + 1 1571 2.01258279 -1.20161844 115.312500 -68.847665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20050978--1.20161844) × R
    0.00110866000000009 × 6371000     		dl = 7063.2728600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20050978--1.20161844) × R
    0.00110866000000009 × 6371000     		dr = 7063.2728600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00951483-2.01258279) × cos(-1.20050978) × R
    0.00306796000000009 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 7073.34704970487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00951483-2.01258279) × cos(-1.20161844) × R
    0.00306796000000009 × 0.360848831226474 × 6371000     		du = 7053.14156997024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20050978)-sin(-1.20161844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.360848831226474)×R²
    abs(2.01258279-2.00951483)×0.00103374130155737×R²
    0.00306796000000009×0.00103374130155737×6371000²
    0.00306796000000009×0.00103374130155737×40589641000000     		ar = 49889626.947286m²