Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16786 / 50719
↖ ↑ ↗
← S 69.716202°
W 87.791748°		 ← 211.74 m → S 69.716202°
W 87.786255°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 69.718107°
W 87.791748°		 ← 211.72 m →
44 839 m²		 S 69.718107°
W 87.786255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256141662597656 y=0.773918151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256141662597656 × 216)
    floor (0.256141662597656 × 65536)
    floor (16786.5)     		tx = 16786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773918151855469 × 216)
    floor (0.773918151855469 × 65536)
    floor (50719.5)     		ty = 50719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16786 / 50719 ti = "16/16786/50719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16786/50719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16786 ÷ 216
    16786 ÷ 65536     		x = 0.256134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50719 ÷ 216
    50719 ÷ 65536     		y = 0.773910522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.48773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53225506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773910522460938 × 2 - 1) × π
    -0.547821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72103057015926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53225506} λ = -1.53225506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72103057015926))-π/2
    2×atan(0.178881702741092)-π/2
    2×0.177009525885951-π/2
    0.354019051771902-1.57079632675     		φ = -1.21677727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53225506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.791748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21677727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.716202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16786 KachelY 50719 -1.53225506 -1.21677727 -87.791748 -69.716202
    Oben rechts KachelX + 1 16787 KachelY 50719 -1.53215919 -1.21677727 -87.786255 -69.716202
    Unten links KachelX 16786 KachelY + 1 50720 -1.53225506 -1.21681051 -87.791748 -69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 16787 KachelY + 1 50720 -1.53215919 -1.21681051 -87.786255 -69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21677727--1.21681051) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dl = 211.77204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21677727--1.21681051) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dr = 211.77204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53225506--1.53215919) × cos(-1.21677727) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346670420196971 × 6371000     		do = 211.742052877066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53225506--1.53215919) × cos(-1.21681051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 211.723009198769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21677727)-sin(-1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346670420196971-0.346639241317444)×R²
    abs(-1.53215919--1.53225506)×3.11788795264722e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11788795264722e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11788795264722e-05×40589641000000     		ar = 44839.0300360709m²