Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16786 / 14902
↖ ↑ ↗
← N 79.909967°
W133.895874°		 ← 53.51 m → N 79.909967°
W133.893127°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.909486°
W133.895874°		 ← 53.51 m →
2 864 m²		 N 79.909486°
W133.893127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128070831298828 y=0.113697052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128070831298828 × 217)
    floor (0.128070831298828 × 131072)
    floor (16786.5)     		tx = 16786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113697052001953 × 217)
    floor (0.113697052001953 × 131072)
    floor (14902.5)     		ty = 14902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16786 / 14902 ti = "17/16786/14902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16786/14902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16786 ÷ 217
    16786 ÷ 131072     		x = 0.128067016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14902 ÷ 217
    14902 ÷ 131072     		y = 0.113693237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128067016601562 × 2 - 1) × π
    -0.743865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33692386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113693237304688 × 2 - 1) × π
    0.772613525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42723697536192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33692386} λ = -2.33692386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42723697536192))-π/2
    2×atan(11.3275405276333)-π/2
    2×1.48274417926998-π/2
    2.96548835853997-1.57079632675     		φ = 1.39469203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33692386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.895874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39469203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.909967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16786 KachelY 14902 -2.33692386 1.39469203 -133.895874 79.909967
    Oben rechts KachelX + 1 16787 KachelY 14902 -2.33687592 1.39469203 -133.893127 79.909967
    Unten links KachelX 16786 KachelY + 1 14903 -2.33692386 1.39468363 -133.895874 79.909486
    Unten rechts KachelX + 1 16787 KachelY + 1 14903 -2.33687592 1.39468363 -133.893127 79.909486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39469203-1.39468363) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39469203-1.39468363) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33692386--2.33687592) × cos(1.39469203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175195461573406 × 6371000     		do = 53.509203495664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33692386--2.33687592) × cos(1.39468363) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175203731650065 × 6371000     		du = 53.5117293899475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39469203)-sin(1.39468363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175195461573406-0.175203731650065)×R²
    abs(-2.33687592--2.33692386)×8.27007665929469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27007665929469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27007665929469e-06×40589641000000     		ar = 2863.68752619502m²