Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16785 / 50715
↖ ↑ ↗
← S 69.708584°
W 87.797241°		 ← 211.82 m → S 69.708584°
W 87.791748°		 →
↑
211.84 m
↓
↑
211.84 m
↓
S 69.710489°
W 87.797241°		 ← 211.80 m →
44 869 m²		 S 69.710489°
W 87.791748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256126403808594 y=0.773857116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256126403808594 × 216)
    floor (0.256126403808594 × 65536)
    floor (16785.5)     		tx = 16785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773857116699219 × 216)
    floor (0.773857116699219 × 65536)
    floor (50715.5)     		ty = 50715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16785 / 50715 ti = "16/16785/50715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16785/50715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16785 ÷ 216
    16785 ÷ 65536     		x = 0.256118774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50715 ÷ 216
    50715 ÷ 65536     		y = 0.773849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256118774414062 × 2 - 1) × π
    -0.487762451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53235093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.547698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7206470749623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53235093} λ = -1.53235093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7206470749623))-π/2
    2×atan(0.178950316170536)-π/2
    2×0.17707601106248-π/2
    0.35415202212496-1.57079632675     		φ = -1.21664430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53235093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.797241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21664430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.708584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16785 KachelY 50715 -1.53235093 -1.21664430 -87.797241 -69.708584
    Oben rechts KachelX + 1 16786 KachelY 50715 -1.53225506 -1.21664430 -87.791748 -69.708584
    Unten links KachelX 16785 KachelY + 1 50716 -1.53235093 -1.21667755 -87.797241 -69.710489
    Unten rechts KachelX + 1 16786 KachelY + 1 50716 -1.53225506 -1.21667755 -87.791748 -69.710489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21664430--1.21667755) × R
    3.32499999999847e-05 × 6371000     		dl = 211.835749999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21664430--1.21667755) × R
    3.32499999999847e-05 × 6371000     		dr = 211.835749999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53235093--1.53225506) × cos(-1.21664430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346795141263788 × 6371000     		do = 211.818230979339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53235093--1.53225506) × cos(-1.21667755) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3467639545372 × 6371000     		du = 211.799182508153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21664430)-sin(-1.21667755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346795141263788-0.3467639545372)×R²
    abs(-1.53225506--1.53235093)×3.11867265874732e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11867265874732e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11867265874732e-05×40589641000000     		ar = 44868.6562539805m²