Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16785 / 14905
↖ ↑ ↗
← N 79.908524°
W133.898620°		 ← 53.51 m → N 79.908524°
W133.895874°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.908042°
W133.898620°		 ← 53.51 m →
2 863 m²		 N 79.908042°
W133.895874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128063201904297 y=0.113719940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128063201904297 × 217)
    floor (0.128063201904297 × 131072)
    floor (16785.5)     		tx = 16785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113719940185547 × 217)
    floor (0.113719940185547 × 131072)
    floor (14905.5)     		ty = 14905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16785 / 14905 ti = "17/16785/14905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16785/14905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16785 ÷ 217
    16785 ÷ 131072     		x = 0.128059387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14905 ÷ 217
    14905 ÷ 131072     		y = 0.113716125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128059387207031 × 2 - 1) × π
    -0.743881225585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.33697179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113716125488281 × 2 - 1) × π
    0.772567749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.42709316466306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33697179} λ = -2.33697179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42709316466306))-π/2
    2×atan(11.3259116232434)-π/2
    2×1.48273158088737-π/2
    2.96546316177473-1.57079632675     		φ = 1.39466684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33697179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.898620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39466684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.908524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16785 KachelY 14905 -2.33697179 1.39466684 -133.898620 79.908524
    Oben rechts KachelX + 1 16786 KachelY 14905 -2.33692386 1.39466684 -133.895874 79.908524
    Unten links KachelX 16785 KachelY + 1 14906 -2.33697179 1.39465844 -133.898620 79.908042
    Unten rechts KachelX + 1 16786 KachelY + 1 14906 -2.33692386 1.39465844 -133.895874 79.908042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39466684-1.39465844) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dl = 53.5164000001242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39466684-1.39465844) × R
    8.4000000000195e-06 × 6371000     		dr = 53.5164000001242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33697179--2.33692386) × cos(1.39466684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175220261921004 × 6371000     		do = 53.5056148773621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33697179--2.33692386) × cos(1.39465844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175228531960589 × 6371000     		du = 53.508140233438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39466684)-sin(1.39465844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175220261921004-0.175228531960589)×R²
    abs(-2.33692386--2.33697179)×8.27003958514538e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.27003958514538e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.27003958514538e-06×40589641000000     		ar = 2863.49546193763m²