Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16784 / 50727
↖ ↑ ↗
← S 69.731431°
W 87.802735°		 ← 211.61 m → S 69.731431°
W 87.797241°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 69.733334°
W 87.802735°		 ← 211.59 m →
44 771 m²		 S 69.733334°
W 87.797241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256111145019531 y=0.774040222167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256111145019531 × 216)
    floor (0.256111145019531 × 65536)
    floor (16784.5)     		tx = 16784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774040222167969 × 216)
    floor (0.774040222167969 × 65536)
    floor (50727.5)     		ty = 50727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16784 / 50727 ti = "16/16784/50727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16784/50727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16784 ÷ 216
    16784 ÷ 65536     		x = 0.256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50727 ÷ 216
    50727 ÷ 65536     		y = 0.774032592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53244681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774032592773438 × 2 - 1) × π
    -0.548065185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72179756055318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53244681} λ = -1.53244681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72179756055318))-π/2
    2×atan(0.178744554795743)-π/2
    2×0.176876627259413-π/2
    0.353753254518827-1.57079632675     		φ = -1.21704307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53244681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.802735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21704307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.731431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16784 KachelY 50727 -1.53244681 -1.21704307 -87.802735 -69.731431
    Oben rechts KachelX + 1 16785 KachelY 50727 -1.53235093 -1.21704307 -87.797241 -69.731431
    Unten links KachelX 16784 KachelY + 1 50728 -1.53244681 -1.21707628 -87.802735 -69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 16785 KachelY + 1 50728 -1.53235093 -1.21707628 -87.797241 -69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21704307--1.21707628) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21704307--1.21707628) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53244681--1.53235093) × cos(-1.21704307) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346421091008161 × 6371000     		do = 211.611836145411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53244681--1.53235093) × cos(-1.21707628) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 211.592805801509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21704307)-sin(-1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346421091008161-0.346389937209692)×R²
    abs(-1.53235093--1.53244681)×3.1153798468242e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1153798468242e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1153798468242e-05×40589641000000     		ar = 44771.0116336724m²