Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16783 / 50698
↖ ↑ ↗
← S 69.676174°
W 87.808227°		 ← 212.14 m → S 69.676174°
W 87.802735°		 →
↑
212.09 m
↓
↑
212.09 m
↓
S 69.678082°
W 87.808227°		 ← 212.12 m →
44 991 m²		 S 69.678082°
W 87.802735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256095886230469 y=0.773597717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256095886230469 × 216)
    floor (0.256095886230469 × 65536)
    floor (16783.5)     		tx = 16783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773597717285156 × 216)
    floor (0.773597717285156 × 65536)
    floor (50698.5)     		ty = 50698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16783 / 50698 ti = "16/16783/50698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16783/50698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16783 ÷ 216
    16783 ÷ 65536     		x = 0.256088256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50698 ÷ 216
    50698 ÷ 65536     		y = 0.773590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256088256835938 × 2 - 1) × π
    -0.487823486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53254268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.54718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71901722037521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53254268} λ = -1.53254268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71901722037521))-π/2
    2×atan(0.179242216977523)-π/2
    2×0.177358839995973-π/2
    0.354717679991946-1.57079632675     		φ = -1.21607865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53254268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.808227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21607865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.676174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16783 KachelY 50698 -1.53254268 -1.21607865 -87.808227 -69.676174
    Oben rechts KachelX + 1 16784 KachelY 50698 -1.53244681 -1.21607865 -87.802735 -69.676174
    Unten links KachelX 16783 KachelY + 1 50699 -1.53254268 -1.21611194 -87.808227 -69.678082
    Unten rechts KachelX + 1 16784 KachelY + 1 50699 -1.53244681 -1.21611194 -87.802735 -69.678082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21607865--1.21611194) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dl = 212.090589999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21607865--1.21611194) × R
    3.32899999999636e-05 × 6371000     		dr = 212.090589999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53254268--1.53244681) × cos(-1.21607865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347325632024737 × 6371000     		do = 212.142248248225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53254268--1.53244681) × cos(-1.21611194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347294414315075 × 6371000     		du = 212.123180852956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21607865)-sin(-1.21611194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347325632024737-0.347294414315075)×R²
    abs(-1.53244681--1.53254268)×3.12177096620792e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12177096620792e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12177096620792e-05×40589641000000     		ar = 44991.3525911722m²