Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1678 / 748
↖ ↑ ↗
← N 43.580391°
E114.960937°		 ← 14.159 km → N 43.580391°
E115.136719°		 →
↑
14.174 km
↓
↑
14.174 km
↓
N 43.452919°
E114.960937°		 ← 14.189 km →
200.909 km²		 N 43.452919°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819580078125 y=0.365478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819580078125 × 211)
    floor (0.819580078125 × 2048)
    floor (1678.5)     		tx = 1678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365478515625 × 211)
    floor (0.365478515625 × 2048)
    floor (748.5)     		ty = 748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1678 / 748 ti = "11/1678/748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1678/748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1678 ÷ 211
    1678 ÷ 2048     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 748 ÷ 211
    748 ÷ 2048     		y = 0.365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365234375 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846757394888672))-π/2
    2×atan(2.33207258789549)-π/2
    2×1.16570881825687-π/2
    2.33141763651375-1.57079632675     		φ = 0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1678 KachelY 748 2.00644687 0.76062131 114.960937 43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 1679 KachelY 748 2.00951483 0.76062131 115.136719 43.580391
    Unten links KachelX 1678 KachelY + 1 749 2.00644687 0.75839650 114.960937 43.452919
    Unten rechts KachelX + 1 1679 KachelY + 1 749 2.00951483 0.75839650 115.136719 43.452919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76062131-0.75839650) × R
    0.00222480999999997 × 6371000     		dl = 14174.2645099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76062131-0.75839650) × R
    0.00222480999999997 × 6371000     		dr = 14174.2645099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00951483) × cos(0.76062131) × R
    0.00306796000000009 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 14159.25614051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00951483) × cos(0.75839650) × R
    0.00306796000000009 × 0.725939763951328 × 6371000     		du = 14189.1991419698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76062131)-sin(0.75839650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.725939763951328)×R²
    abs(2.00951483-2.00644687)×0.00153192686875603×R²
    0.00306796000000009×0.00153192686875603×6371000²
    0.00306796000000009×0.00153192686875603×40589641000000     		ar = 200909334.683304m²