Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1678 / 1566
↖ ↑ ↗
← S 68.528235°
E114.960937°		 ← 7 154.66 m → S 68.528235°
E115.136719°		 →
↑
7 144.44 m
↓
↑
7 144.44 m
↓
S 68.592486°
E114.960937°		 ← 7 134.26 m →
51 043 162 m²		 S 68.592486°
E115.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819580078125 y=0.764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819580078125 × 211)
    floor (0.819580078125 × 2048)
    floor (1678.5)     		tx = 1678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764892578125 × 211)
    floor (0.764892578125 × 2048)
    floor (1566.5)     		ty = 1566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1678 / 1566 ti = "11/1678/1566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1678/1566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1678 ÷ 211
    1678 ÷ 2048     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1566 ÷ 211
    1566 ÷ 2048     		y = 0.7646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    -0.529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66283517402051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66283517402051))-π/2
    2×atan(0.18960066647185)-π/2
    2×0.18737649843559-π/2
    0.374752996871181-1.57079632675     		φ = -1.19604333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19604333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.528235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1678 KachelY 1566 2.00644687 -1.19604333 114.960937 -68.528235
    Oben rechts KachelX + 1 1679 KachelY 1566 2.00951483 -1.19604333 115.136719 -68.528235
    Unten links KachelX 1678 KachelY + 1 1567 2.00644687 -1.19716473 114.960937 -68.592486
    Unten rechts KachelX + 1 1679 KachelY + 1 1567 2.00951483 -1.19716473 115.136719 -68.592486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19604333--1.19716473) × R
    0.00112139999999994 × 6371000     		dl = 7144.43939999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19604333--1.19716473) × R
    0.00112139999999994 × 6371000     		dr = 7144.43939999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00951483) × cos(-1.19604333) × R
    0.00306796000000009 × 0.366042679550149 × 6371000     		do = 7154.66038990191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00951483) × cos(-1.19716473) × R
    0.00306796000000009 × 0.364998876943627 × 6371000     		du = 7134.25825217049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19604333)-sin(-1.19716473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366042679550149-0.364998876943627)×R²
    abs(2.00951483-2.00644687)×0.00104380260652204×R²
    0.00306796000000009×0.00104380260652204×6371000²
    0.00306796000000009×0.00104380260652204×40589641000000     		ar = 51043162.0139677m²