Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16774 / 12244
↖ ↑ ↗
← N 41.343824°
E  4.284668°		 ← 917.16 m → N 41.343824°
E  4.295654°		 →
↑
917.17 m
↓
↑
917.17 m
↓
N 41.335576°
E  4.284668°		 ← 917.27 m →
841 241 m²		 N 41.335576°
E  4.295654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511917114257812 y=0.373672485351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511917114257812 × 215)
    floor (0.511917114257812 × 32768)
    floor (16774.5)     		tx = 16774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373672485351562 × 215)
    floor (0.373672485351562 × 32768)
    floor (12244.5)     		ty = 12244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16774 / 12244 ti = "15/16774/12244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16774/12244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16774 ÷ 215
    16774 ÷ 32768     		x = 0.51190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12244 ÷ 215
    12244 ÷ 32768     		y = 0.3736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51190185546875 × 2 - 1) × π
    0.0238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07478156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3736572265625 × 2 - 1) × π
    0.252685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.79383505770813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07478156} λ = 0.07478156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.79383505770813))-π/2
    2×atan(2.2118628028492)-π/2
    2×1.14619109554326-π/2
    2.29238219108652-1.57079632675     		φ = 0.72158586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07478156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.284668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72158586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.343824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16774 KachelY 12244 0.07478156 0.72158586 4.284668 41.343824
    Oben rechts KachelX + 1 16775 KachelY 12244 0.07497331 0.72158586 4.295654 41.343824
    Unten links KachelX 16774 KachelY + 1 12245 0.07478156 0.72144190 4.284668 41.335576
    Unten rechts KachelX + 1 16775 KachelY + 1 12245 0.07497331 0.72144190 4.295654 41.335576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72158586-0.72144190) × R
    0.000143960000000054 × 6371000     		dl = 917.169160000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72158586-0.72144190) × R
    0.000143960000000054 × 6371000     		dr = 917.169160000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07478156-0.07497331) × cos(0.72158586) × R
    0.000191750000000004 × 0.750759092425873 × 6371000     		do = 917.156774601845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07478156-0.07497331) × cos(0.72144190) × R
    0.000191750000000004 × 0.75085418118149 × 6371000     		du = 917.272938757941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72158586)-sin(0.72144190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750759092425873-0.75085418118149)×R²
    abs(0.07497331-0.07478156)×9.50887556171454e-05×R²
    0.000191750000000004×9.50887556171454e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.50887556171454e-05×40589641000000     		ar = 841241.181093253m²