Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16773 / 17428
↖ ↑ ↗
← S 11.393879°
E  4.273682°		 ← 1 197.50 m → S 11.393879°
E  4.284668°		 →
↑
1 197.49 m
↓
↑
1 197.49 m
↓
S 11.404649°
E  4.273682°		 ← 1 197.46 m →
1 433 972 m²		 S 11.404649°
E  4.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511886596679688 y=0.531875610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511886596679688 × 215)
    floor (0.511886596679688 × 32768)
    floor (16773.5)     		tx = 16773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531875610351562 × 215)
    floor (0.531875610351562 × 32768)
    floor (17428.5)     		ty = 17428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16773 / 17428 ti = "15/16773/17428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16773/17428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16773 ÷ 215
    16773 ÷ 32768     		x = 0.511871337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17428 ÷ 215
    17428 ÷ 32768     		y = 0.5318603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511871337890625 × 2 - 1) × π
    0.02374267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07458982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5318603515625 × 2 - 1) × π
    -0.063720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.200184492813354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07458982} λ = 0.07458982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200184492813354))-π/2
    2×atan(0.818579717070924)-π/2
    2×0.685967809805309-π/2
    1.37193561961062-1.57079632675     		φ = -0.19886071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07458982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.273682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19886071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.393879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16773 KachelY 17428 0.07458982 -0.19886071 4.273682 -11.393879
    Oben rechts KachelX + 1 16774 KachelY 17428 0.07478156 -0.19886071 4.284668 -11.393879
    Unten links KachelX 16773 KachelY + 1 17429 0.07458982 -0.19904867 4.273682 -11.404649
    Unten rechts KachelX + 1 16774 KachelY + 1 17429 0.07478156 -0.19904867 4.284668 -11.404649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19886071--0.19904867) × R
    0.000187960000000015 × 6371000     		dl = 1197.49316000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19886071--0.19904867) × R
    0.000187960000000015 × 6371000     		dr = 1197.49316000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07458982-0.07478156) × cos(-0.19886071) × R
    0.000191739999999996 × 0.980292283719984 × 6371000     		do = 1197.50107584305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07458982-0.07478156) × cos(-0.19904867) × R
    0.000191739999999996 × 0.980255134413008 × 6371000     		du = 1197.45569515832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19886071)-sin(-0.19904867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980292283719984-0.980255134413008)×R²
    abs(0.07478156-0.07458982)×3.71493069761808e-05×R²
    0.000191739999999996×3.71493069761808e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.71493069761808e-05×40589641000000     		ar = 1433972.18010677m²