Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16770 / 12246
↖ ↑ ↗
← N 41.327327°
E  4.240722°		 ← 917.39 m → N 41.327327°
E  4.251709°		 →
↑
917.49 m
↓
↑
917.49 m
↓
N 41.319075°
E  4.240722°		 ← 917.51 m →
841 747 m²		 N 41.319075°
E  4.251709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511795043945312 y=0.373733520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511795043945312 × 215)
    floor (0.511795043945312 × 32768)
    floor (16770.5)     		tx = 16770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373733520507812 × 215)
    floor (0.373733520507812 × 32768)
    floor (12246.5)     		ty = 12246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16770 / 12246 ti = "15/16770/12246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16770/12246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16770 ÷ 215
    16770 ÷ 32768     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12246 ÷ 215
    12246 ÷ 32768     		y = 0.37371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37371826171875 × 2 - 1) × π
    0.2525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.793451562511169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.793451562511169))-π/2
    2×atan(2.21101472671493)-π/2
    2×1.14604712105718-π/2
    2.29209424211437-1.57079632675     		φ = 0.72129792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72129792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.327327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16770 KachelY 12246 0.07401457 0.72129792 4.240722 41.327327
    Oben rechts KachelX + 1 16771 KachelY 12246 0.07420632 0.72129792 4.251709 41.327327
    Unten links KachelX 16770 KachelY + 1 12247 0.07401457 0.72115391 4.240722 41.319075
    Unten rechts KachelX + 1 16771 KachelY + 1 12247 0.07420632 0.72115391 4.251709 41.319075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72129792-0.72115391) × R
    0.000144010000000083 × 6371000     		dl = 917.48771000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72129792-0.72115391) × R
    0.000144010000000083 × 6371000     		dr = 917.48771000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07420632) × cos(0.72129792) × R
    0.000191750000000004 × 0.750949267583241 × 6371000     		do = 917.389100038461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07420632) × cos(0.72115391) × R
    0.000191750000000004 × 0.751044358225187 × 6371000     		du = 917.50526649897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72129792)-sin(0.72115391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750949267583241-0.751044358225187)×R²
    abs(0.07420632-0.07401457)×9.50906419456832e-05×R²
    0.000191750000000004×9.50906419456832e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.50906419456832e-05×40589641000000     		ar = 841746.516678412m²