Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16764 / 12227
↖ ↑ ↗
← N 41.483891°
E  4.174805°		 ← 915.18 m → N 41.483891°
E  4.185791°		 →
↑
915.26 m
↓
↑
915.26 m
↓
N 41.475660°
E  4.174805°		 ← 915.30 m →
837 680 m²		 N 41.475660°
E  4.185791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511611938476562 y=0.373153686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511611938476562 × 215)
    floor (0.511611938476562 × 32768)
    floor (16764.5)     		tx = 16764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373153686523438 × 215)
    floor (0.373153686523438 × 32768)
    floor (12227.5)     		ty = 12227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16764 / 12227 ti = "15/16764/12227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16764/12227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16764 ÷ 215
    16764 ÷ 32768     		x = 0.5115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12227 ÷ 215
    12227 ÷ 32768     		y = 0.373138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5115966796875 × 2 - 1) × π
    0.023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07286409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373138427734375 × 2 - 1) × π
    0.25372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.797094766882294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07286409} λ = 0.07286409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797094766882294))-π/2
    2×atan(2.21908459639827)-π/2
    2×1.14741340600552-π/2
    2.29482681201103-1.57079632675     		φ = 0.72403049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07286409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72403049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.483891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16764 KachelY 12227 0.07286409 0.72403049 4.174805 41.483891
    Oben rechts KachelX + 1 16765 KachelY 12227 0.07305584 0.72403049 4.185791 41.483891
    Unten links KachelX 16764 KachelY + 1 12228 0.07286409 0.72388683 4.174805 41.475660
    Unten rechts KachelX + 1 16765 KachelY + 1 12228 0.07305584 0.72388683 4.185791 41.475660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72403049-0.72388683) × R
    0.00014365999999999 × 6371000     		dl = 915.257859999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72403049-0.72388683) × R
    0.00014365999999999 × 6371000     		dr = 915.257859999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07286409-0.07305584) × cos(0.72403049) × R
    0.000191749999999991 × 0.74914198653261 × 6371000     		do = 915.181254571163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07286409-0.07305584) × cos(0.72388683) × R
    0.000191749999999991 × 0.749237140543895 × 6371000     		du = 915.297498446143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72403049)-sin(0.72388683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74914198653261-0.749237140543895)×R²
    abs(0.07305584-0.07286409)×9.51540112852367e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51540112852367e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51540112852367e-05×40589641000000     		ar = 837680.034571998m²