Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16758 / 49837
↖ ↑ ↗
← N 39.544294°
W133.972778°		 ← 235.52 m → N 39.544294°
W133.970032°		 →
↑
235.54 m
↓
↑
235.54 m
↓
N 39.542176°
W133.972778°		 ← 235.53 m →
55 475 m²		 N 39.542176°
W133.970032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127857208251953 y=0.380229949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127857208251953 × 217)
    floor (0.127857208251953 × 131072)
    floor (16758.5)     		tx = 16758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380229949951172 × 217)
    floor (0.380229949951172 × 131072)
    floor (49837.5)     		ty = 49837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16758 / 49837 ti = "17/16758/49837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16758/49837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16758 ÷ 217
    16758 ÷ 131072     		x = 0.127853393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49837 ÷ 217
    49837 ÷ 131072     		y = 0.380226135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127853393554688 × 2 - 1) × π
    -0.744293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33826609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380226135253906 × 2 - 1) × π
    0.239547729492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.752561387135262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33826609} λ = -2.33826609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.752561387135262))-π/2
    2×atan(2.12242942365886)-π/2
    2×1.13048722849203-π/2
    2.26097445698406-1.57079632675     		φ = 0.69017813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33826609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.972778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69017813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.544294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16758 KachelY 49837 -2.33826609 0.69017813 -133.972778 39.544294
    Oben rechts KachelX + 1 16759 KachelY 49837 -2.33821815 0.69017813 -133.970032 39.544294
    Unten links KachelX 16758 KachelY + 1 49838 -2.33826609 0.69014116 -133.972778 39.542176
    Unten rechts KachelX + 1 16759 KachelY + 1 49838 -2.33821815 0.69014116 -133.970032 39.542176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69017813-0.69014116) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dl = 235.535869999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69017813-0.69014116) × R
    3.6969999999914e-05 × 6371000     		dr = 235.535869999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33826609--2.33821815) × cos(0.69017813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771132616393505 × 6371000     		do = 235.523749999968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33826609--2.33821815) × cos(0.69014116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.771156153724782 × 6371000     		du = 235.530938906791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69017813)-sin(0.69014116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771132616393505-0.771156153724782)×R²
    abs(-2.33821815--2.33826609)×2.35373312776899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35373312776899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35373312776899e-05×40589641000000     		ar = 55475.1379908863m²