Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16758 / 11669
↖ ↑ ↗
← N 45.912944°
E  4.108887°		 ← 849.96 m → N 45.912944°
E  4.119873°		 →
↑
849.96 m
↓
↑
849.96 m
↓
N 45.905300°
E  4.108887°		 ← 850.07 m →
722 474 m²		 N 45.905300°
E  4.119873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511428833007812 y=0.356124877929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511428833007812 × 215)
    floor (0.511428833007812 × 32768)
    floor (16758.5)     		tx = 16758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356124877929688 × 215)
    floor (0.356124877929688 × 32768)
    floor (11669.5)     		ty = 11669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16758 / 11669 ti = "15/16758/11669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16758/11669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16758 ÷ 215
    16758 ÷ 32768     		x = 0.51141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11669 ÷ 215
    11669 ÷ 32768     		y = 0.356109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51141357421875 × 2 - 1) × π
    0.0228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07171360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.356109619140625 × 2 - 1) × π
    0.28778076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.904089926834259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07171360} λ = 0.07171360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.904089926834259))-π/2
    2×atan(2.46968330750429)-π/2
    2×1.18606418554189-π/2
    2.37212837108379-1.57079632675     		φ = 0.80133204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07171360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.108887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80133204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.912944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16758 KachelY 11669 0.07171360 0.80133204 4.108887 45.912944
    Oben rechts KachelX + 1 16759 KachelY 11669 0.07190535 0.80133204 4.119873 45.912944
    Unten links KachelX 16758 KachelY + 1 11670 0.07171360 0.80119863 4.108887 45.905300
    Unten rechts KachelX + 1 16759 KachelY + 1 11670 0.07190535 0.80119863 4.119873 45.905300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80133204-0.80119863) × R
    0.00013341 × 6371000     		dl = 849.955110000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80133204-0.80119863) × R
    0.00013341 × 6371000     		dr = 849.955110000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07171360-0.07190535) × cos(0.80133204) × R
    0.000191750000000004 × 0.695750544528508 × 6371000     		do = 849.956173404917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07171360-0.07190535) × cos(0.80119863) × R
    0.000191750000000004 × 0.695846364537783 × 6371000     		du = 850.073230889184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80133204)-sin(0.80119863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695750544528508-0.695846364537783)×R²
    abs(0.07190535-0.07171360)×9.58200092758821e-05×R²
    0.000191750000000004×9.58200092758821e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.58200092758821e-05×40589641000000     		ar = 722474.340735853m²