Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16757 / 49878
↖ ↑ ↗
← N 39.457403°
W133.975525°		 ← 235.82 m → N 39.457403°
W133.972778°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
N 39.455282°
W133.975525°		 ← 235.83 m →
55 605 m²		 N 39.455282°
W133.972778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127849578857422 y=0.380542755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127849578857422 × 217)
    floor (0.127849578857422 × 131072)
    floor (16757.5)     		tx = 16757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380542755126953 × 217)
    floor (0.380542755126953 × 131072)
    floor (49878.5)     		ty = 49878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16757 / 49878 ti = "17/16757/49878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16757/49878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16757 ÷ 217
    16757 ÷ 131072     		x = 0.127845764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49878 ÷ 217
    49878 ÷ 131072     		y = 0.380538940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127845764160156 × 2 - 1) × π
    -0.744308471679688 × 3.1415926535     		Λ = -2.33831403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380538940429688 × 2 - 1) × π
    0.238922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.750595974250839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33831403} λ = -2.33831403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.750595974250839))-π/2
    2×atan(2.11826207014995)-π/2
    2×1.12972895746852-π/2
    2.25945791493705-1.57079632675     		φ = 0.68866159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33831403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.975525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68866159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.457403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16757 KachelY 49878 -2.33831403 0.68866159 -133.975525 39.457403
    Oben rechts KachelX + 1 16758 KachelY 49878 -2.33826609 0.68866159 -133.972778 39.457403
    Unten links KachelX 16757 KachelY + 1 49879 -2.33831403 0.68862458 -133.975525 39.455282
    Unten rechts KachelX + 1 16758 KachelY + 1 49879 -2.33826609 0.68862458 -133.972778 39.455282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68866159-0.68862458) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dl = 235.790710000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68866159-0.68862458) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dr = 235.790710000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33831403--2.33826609) × cos(0.68866159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772097271690482 × 6371000     		do = 235.818380557892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33831403--2.33826609) × cos(0.68862458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.772120791178388 × 6371000     		du = 235.82556401489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68866159)-sin(0.68862458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772097271690482-0.772120791178388)×R²
    abs(-2.33826609--2.33831403)×2.35194879059097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35194879059097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35194879059097e-05×40589641000000     		ar = 55604.6302854935m²