Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16757 / 15157
↖ ↑ ↗
← N 79.786523°
W133.975525°		 ← 54.16 m → N 79.786523°
W133.972778°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.786036°
W133.975525°		 ← 54.16 m →
2 933 m²		 N 79.786036°
W133.972778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127849578857422 y=0.115642547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127849578857422 × 217)
    floor (0.127849578857422 × 131072)
    floor (16757.5)     		tx = 16757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115642547607422 × 217)
    floor (0.115642547607422 × 131072)
    floor (15157.5)     		ty = 15157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16757 / 15157 ti = "17/16757/15157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16757/15157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16757 ÷ 217
    16757 ÷ 131072     		x = 0.127845764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15157 ÷ 217
    15157 ÷ 131072     		y = 0.115638732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127845764160156 × 2 - 1) × π
    -0.744308471679688 × 3.1415926535     		Λ = -2.33831403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115638732910156 × 2 - 1) × π
    0.768722534179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.41501306595881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33831403} λ = -2.33831403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41501306595881))-π/2
    2×atan(11.1899165635864)-π/2
    2×1.48166692408106-π/2
    2.96333384816211-1.57079632675     		φ = 1.39253752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33831403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.975525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39253752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.786523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16757 KachelY 15157 -2.33831403 1.39253752 -133.975525 79.786523
    Oben rechts KachelX + 1 16758 KachelY 15157 -2.33826609 1.39253752 -133.972778 79.786523
    Unten links KachelX 16757 KachelY + 1 15158 -2.33831403 1.39252902 -133.975525 79.786036
    Unten rechts KachelX + 1 16758 KachelY + 1 15158 -2.33826609 1.39252902 -133.972778 79.786036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39253752-1.39252902) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39253752-1.39252902) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33831403--2.33826609) × cos(1.39253752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17731624095193 × 6371000     		do = 54.1569441067261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33831403--2.33826609) × cos(1.39252902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177324606253898 × 6371000     		du = 54.15949908527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39253752)-sin(1.39252902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17731624095193-0.177324606253898)×R²
    abs(-2.33826609--2.33831403)×8.36530196818286e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36530196818286e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36530196818286e-06×40589641000000     		ar = 2932.85725313937m²