Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16756 / 11667
↖ ↑ ↗
← N 45.928229°
E  4.086914°		 ← 849.68 m → N 45.928229°
E  4.097900°		 →
↑
849.76 m
↓
↑
849.76 m
↓
N 45.920587°
E  4.086914°		 ← 849.79 m →
722 075 m²		 N 45.920587°
E  4.097900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511367797851562 y=0.356063842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511367797851562 × 215)
    floor (0.511367797851562 × 32768)
    floor (16756.5)     		tx = 16756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356063842773438 × 215)
    floor (0.356063842773438 × 32768)
    floor (11667.5)     		ty = 11667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16756 / 11667 ti = "15/16756/11667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16756/11667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16756 ÷ 215
    16756 ÷ 32768     		x = 0.5113525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11667 ÷ 215
    11667 ÷ 32768     		y = 0.356048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5113525390625 × 2 - 1) × π
    0.022705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07133011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.356048583984375 × 2 - 1) × π
    0.28790283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.904473422031219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07133011} λ = 0.07133011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.904473422031219))-π/2
    2×atan(2.47063060082034)-π/2
    2×1.18619757566323-π/2
    2.37239515132645-1.57079632675     		φ = 0.80159882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07133011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.086914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80159882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.928229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16756 KachelY 11667 0.07133011 0.80159882 4.086914 45.928229
    Oben rechts KachelX + 1 16757 KachelY 11667 0.07152185 0.80159882 4.097900 45.928229
    Unten links KachelX 16756 KachelY + 1 11668 0.07133011 0.80146544 4.086914 45.920587
    Unten rechts KachelX + 1 16757 KachelY + 1 11668 0.07152185 0.80146544 4.097900 45.920587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80159882-0.80146544) × R
    0.000133380000000072 × 6371000     		dl = 849.763980000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80159882-0.80146544) × R
    0.000133380000000072 × 6371000     		dr = 849.763980000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07133011-0.07152185) × cos(0.80159882) × R
    0.000191739999999996 × 0.695558896101045 × 6371000     		do = 849.677734106419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07133011-0.07152185) × cos(0.80146544) × R
    0.000191739999999996 × 0.695654719319868 × 6371000     		du = 849.794789406697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80159882)-sin(0.80146544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695558896101045-0.695654719319868)×R²
    abs(0.07152185-0.07133011)×9.58232188231767e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58232188231767e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58232188231767e-05×40589641000000     		ar = 722075.268811202m²