Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16755 / 49577
↖ ↑ ↗
← N 40.092781°
W133.981018°		 ← 233.65 m → N 40.092781°
W133.978271°		 →
↑
233.62 m
↓
↑
233.62 m
↓
N 40.090680°
W133.981018°		 ← 233.66 m →
54 588 m²		 N 40.090680°
W133.978271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127834320068359 y=0.378246307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127834320068359 × 217)
    floor (0.127834320068359 × 131072)
    floor (16755.5)     		tx = 16755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378246307373047 × 217)
    floor (0.378246307373047 × 131072)
    floor (49577.5)     		ty = 49577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16755 / 49577 ti = "17/16755/49577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16755/49577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16755 ÷ 217
    16755 ÷ 131072     		x = 0.127830505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49577 ÷ 217
    49577 ÷ 131072     		y = 0.378242492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127830505371094 × 2 - 1) × π
    -0.744338989257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.33840990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378242492675781 × 2 - 1) × π
    0.243515014648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.765024981036476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33840990} λ = -2.33840990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765024981036476))-π/2
    2×atan(2.14904805943263)-π/2
    2×1.13527368086363-π/2
    2.27054736172726-1.57079632675     		φ = 0.69975103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33840990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.981018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69975103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.092781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16755 KachelY 49577 -2.33840990 0.69975103 -133.981018 40.092781
    Oben rechts KachelX + 1 16756 KachelY 49577 -2.33836196 0.69975103 -133.978271 40.092781
    Unten links KachelX 16755 KachelY + 1 49578 -2.33840990 0.69971436 -133.981018 40.090680
    Unten rechts KachelX + 1 16756 KachelY + 1 49578 -2.33836196 0.69971436 -133.978271 40.090680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69975103-0.69971436) × R
    3.66700000000719e-05 × 6371000     		dl = 233.624570000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69975103-0.69971436) × R
    3.66700000000719e-05 × 6371000     		dr = 233.624570000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33840990--2.33836196) × cos(0.69975103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765002554455646 × 6371000     		do = 233.651471296353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33840990--2.33836196) × cos(0.69971436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765026170420352 × 6371000     		du = 233.658684219849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69975103)-sin(0.69971436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765002554455646-0.765026170420352)×R²
    abs(-2.33836196--2.33840990)×2.36159647057921e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36159647057921e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36159647057921e-05×40589641000000     		ar = 54587.5670756811m²