Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16754 / 50023
↖ ↑ ↗
← N 39.149233°
W133.983765°		 ← 236.86 m → N 39.149233°
W133.981018°		 →
↑
236.87 m
↓
↑
236.87 m
↓
N 39.147102°
W133.983765°		 ← 236.87 m →
56 107 m²		 N 39.147102°
W133.981018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127826690673828 y=0.381649017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127826690673828 × 217)
    floor (0.127826690673828 × 131072)
    floor (16754.5)     		tx = 16754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381649017333984 × 217)
    floor (0.381649017333984 × 131072)
    floor (50023.5)     		ty = 50023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16754 / 50023 ti = "17/16754/50023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16754/50023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16754 ÷ 217
    16754 ÷ 131072     		x = 0.127822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50023 ÷ 217
    50023 ÷ 131072     		y = 0.381645202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127822875976562 × 2 - 1) × π
    -0.744354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33845784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381645202636719 × 2 - 1) × π
    0.236709594726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.743645123805931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33845784} λ = -2.33845784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743645123805931))-π/2
    2×atan(2.10358940013961)-π/2
    2×1.12703966873681-π/2
    2.25407933747361-1.57079632675     		φ = 0.68328301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33845784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68328301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.149233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16754 KachelY 50023 -2.33845784 0.68328301 -133.983765 39.149233
    Oben rechts KachelX + 1 16755 KachelY 50023 -2.33840990 0.68328301 -133.981018 39.149233
    Unten links KachelX 16754 KachelY + 1 50024 -2.33845784 0.68324583 -133.983765 39.147102
    Unten rechts KachelX + 1 16755 KachelY + 1 50024 -2.33840990 0.68324583 -133.981018 39.147102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68328301-0.68324583) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dl = 236.873779999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68328301-0.68324583) × R
    3.717999999997e-05 × 6371000     		dr = 236.873779999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33845784--2.33840990) × cos(0.68328301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77550419827768 × 6371000     		do = 236.858943631912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33845784--2.33840990) × cos(0.68324583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775527671052463 × 6371000     		du = 236.86611282152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68328301)-sin(0.68324583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77550419827768-0.775527671052463)×R²
    abs(-2.33840990--2.33845784)×2.34727747820962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34727747820962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34727747820962e-05×40589641000000     		ar = 56106.5224077464m²