Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16754 / 50021
↖ ↑ ↗
← N 39.153493°
W133.983765°		 ← 236.84 m → N 39.153493°
W133.981018°		 →
↑
236.81 m
↓
↑
236.81 m
↓
N 39.151363°
W133.983765°		 ← 236.85 m →
56 088 m²		 N 39.151363°
W133.981018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127826690673828 y=0.381633758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127826690673828 × 217)
    floor (0.127826690673828 × 131072)
    floor (16754.5)     		tx = 16754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381633758544922 × 217)
    floor (0.381633758544922 × 131072)
    floor (50021.5)     		ty = 50021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16754 / 50021 ti = "17/16754/50021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16754/50021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16754 ÷ 217
    16754 ÷ 131072     		x = 0.127822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50021 ÷ 217
    50021 ÷ 131072     		y = 0.381629943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127822875976562 × 2 - 1) × π
    -0.744354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33845784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381629943847656 × 2 - 1) × π
    0.236740112304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.743740997605171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33845784} λ = -2.33845784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743740997605171))-π/2
    2×atan(2.10379108891563)-π/2
    2×1.12707684287859-π/2
    2.25415368575717-1.57079632675     		φ = 0.68335736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33845784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68335736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.153493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16754 KachelY 50021 -2.33845784 0.68335736 -133.983765 39.153493
    Oben rechts KachelX + 1 16755 KachelY 50021 -2.33840990 0.68335736 -133.981018 39.153493
    Unten links KachelX 16754 KachelY + 1 50022 -2.33845784 0.68332019 -133.983765 39.151363
    Unten rechts KachelX + 1 16755 KachelY + 1 50022 -2.33840990 0.68332019 -133.981018 39.151363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68335736-0.68332019) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dl = 236.810070000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68335736-0.68332019) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dr = 236.810070000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33845784--2.33840990) × cos(0.68335736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775457255826089 × 6371000     		do = 236.844606198897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33845784--2.33840990) × cos(0.68332019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.775480724430878 × 6371000     		du = 236.851774114882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68335736)-sin(0.68332019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775457255826089-0.775480724430878)×R²
    abs(-2.33840990--2.33845784)×2.34686047891897e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34686047891897e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34686047891897e-05×40589641000000     		ar = 56088.0364970771m²