Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16754 / 49578
↖ ↑ ↗
← N 40.090680°
W133.983765°		 ← 233.66 m → N 40.090680°
W133.981018°		 →
↑
233.62 m
↓
↑
233.62 m
↓
N 40.088579°
W133.983765°		 ← 233.67 m →
54 589 m²		 N 40.088579°
W133.981018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127826690673828 y=0.378253936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127826690673828 × 217)
    floor (0.127826690673828 × 131072)
    floor (16754.5)     		tx = 16754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378253936767578 × 217)
    floor (0.378253936767578 × 131072)
    floor (49578.5)     		ty = 49578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16754 / 49578 ti = "17/16754/49578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16754/49578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16754 ÷ 217
    16754 ÷ 131072     		x = 0.127822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49578 ÷ 217
    49578 ÷ 131072     		y = 0.378250122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127822875976562 × 2 - 1) × π
    -0.744354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33845784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378250122070312 × 2 - 1) × π
    0.243499755859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.764977044136856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33845784} λ = -2.33845784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764977044136856))-π/2
    2×atan(2.14894504320068)-π/2
    2×1.13525534465533-π/2
    2.27051068931067-1.57079632675     		φ = 0.69971436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33845784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69971436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.090680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16754 KachelY 49578 -2.33845784 0.69971436 -133.983765 40.090680
    Oben rechts KachelX + 1 16755 KachelY 49578 -2.33840990 0.69971436 -133.981018 40.090680
    Unten links KachelX 16754 KachelY + 1 49579 -2.33845784 0.69967769 -133.983765 40.088579
    Unten rechts KachelX + 1 16755 KachelY + 1 49579 -2.33840990 0.69967769 -133.981018 40.088579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69971436-0.69967769) × R
    3.66699999999609e-05 × 6371000     		dl = 233.624569999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69971436-0.69967769) × R
    3.66699999999609e-05 × 6371000     		dr = 233.624569999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33845784--2.33840990) × cos(0.69971436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765026170420352 × 6371000     		do = 233.658684219849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33845784--2.33840990) × cos(0.69967769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765049785356335 × 6371000     		du = 233.665896829147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69971436)-sin(0.69967769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765026170420352-0.765049785356335)×R²
    abs(-2.33840990--2.33845784)×2.36149359836846e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36149359836846e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36149359836846e-05×40589641000000     		ar = 54589.2521550259m²