Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16753 / 49881
↖ ↑ ↗
← N 39.451040°
W133.986511°		 ← 235.79 m → N 39.451040°
W133.983765°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
N 39.448919°
W133.986511°		 ← 235.80 m →
55 613 m²		 N 39.448919°
W133.983765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127819061279297 y=0.380565643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127819061279297 × 217)
    floor (0.127819061279297 × 131072)
    floor (16753.5)     		tx = 16753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380565643310547 × 217)
    floor (0.380565643310547 × 131072)
    floor (49881.5)     		ty = 49881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16753 / 49881 ti = "17/16753/49881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16753/49881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16753 ÷ 217
    16753 ÷ 131072     		x = 0.127815246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49881 ÷ 217
    49881 ÷ 131072     		y = 0.380561828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127815246582031 × 2 - 1) × π
    -0.744369506835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.33850577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380561828613281 × 2 - 1) × π
    0.238876342773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.750452163551979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33850577} λ = -2.33850577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.750452163551979))-π/2
    2×atan(2.11795746330466)-π/2
    2×1.1296734370074-π/2
    2.25934687401481-1.57079632675     		φ = 0.68855055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33850577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.986511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68855055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.451040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16753 KachelY 49881 -2.33850577 0.68855055 -133.986511 39.451040
    Oben rechts KachelX + 1 16754 KachelY 49881 -2.33845784 0.68855055 -133.983765 39.451040
    Unten links KachelX 16753 KachelY + 1 49882 -2.33850577 0.68851353 -133.986511 39.448919
    Unten rechts KachelX + 1 16754 KachelY + 1 49882 -2.33845784 0.68851353 -133.983765 39.448919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68855055-0.68851353) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dl = 235.854419999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68855055-0.68851353) × R
    3.70199999999432e-05 × 6371000     		dr = 235.854419999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33850577--2.33845784) × cos(0.68855055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.77216783333554 × 6371000     		do = 235.790737088186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33850577--2.33845784) × cos(0.68851353) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.772191356004149 × 6371000     		du = 235.797920018024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68855055)-sin(0.68851353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77216783333554-0.772191356004149)×R²
    abs(-2.33845784--2.33850577)×2.35226686094991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35226686094991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35226686094991e-05×40589641000000     		ar = 55613.1346064586m²