Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16753 / 49871
↖ ↑ ↗
← N 39.472245°
W133.986511°		 ← 235.72 m → N 39.472245°
W133.983765°		 →
↑
235.73 m
↓
↑
235.73 m
↓
N 39.470125°
W133.986511°		 ← 235.73 m →
55 566 m²		 N 39.470125°
W133.983765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127819061279297 y=0.380489349365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127819061279297 × 217)
    floor (0.127819061279297 × 131072)
    floor (16753.5)     		tx = 16753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380489349365234 × 217)
    floor (0.380489349365234 × 131072)
    floor (49871.5)     		ty = 49871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16753 / 49871 ti = "17/16753/49871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16753/49871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16753 ÷ 217
    16753 ÷ 131072     		x = 0.127815246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49871 ÷ 217
    49871 ÷ 131072     		y = 0.380485534667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127815246582031 × 2 - 1) × π
    -0.744369506835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.33850577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380485534667969 × 2 - 1) × π
    0.239028930664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.75093153254818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33850577} λ = -2.33850577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75093153254818))-π/2
    2×atan(2.11897298983436)-π/2
    2×1.12985848547887-π/2
    2.25971697095774-1.57079632675     		φ = 0.68892064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33850577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.986511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68892064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.472245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16753 KachelY 49871 -2.33850577 0.68892064 -133.986511 39.472245
    Oben rechts KachelX + 1 16754 KachelY 49871 -2.33845784 0.68892064 -133.983765 39.472245
    Unten links KachelX 16753 KachelY + 1 49872 -2.33850577 0.68888364 -133.986511 39.470125
    Unten rechts KachelX + 1 16754 KachelY + 1 49872 -2.33845784 0.68888364 -133.983765 39.470125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68892064-0.68888364) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dl = 235.726999999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68892064-0.68888364) × R
    3.69999999999537e-05 × 6371000     		dr = 235.726999999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33850577--2.33845784) × cos(0.68892064) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771932618379 × 6371000     		do = 235.718911371571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33850577--2.33845784) × cos(0.68888364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.771956138911908 × 6371000     		du = 235.726093649247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68892064)-sin(0.68888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771932618379-0.771956138911908)×R²
    abs(-2.33845784--2.33850577)×2.35205329081056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35205329081056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35205329081056e-05×40589641000000     		ar = 55566.1583554565m²