Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16752 / 12976
↖ ↑ ↗
← N 80.795827°
W133.989258°		 ← 48.85 m → N 80.795827°
W133.986511°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
N 80.795388°
W133.989258°		 ← 48.86 m →
2 387 m²		 N 80.795388°
W133.986511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127811431884766 y=0.0990028381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127811431884766 × 217)
    floor (0.127811431884766 × 131072)
    floor (16752.5)     		tx = 16752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990028381347656 × 217)
    floor (0.0990028381347656 × 131072)
    floor (12976.5)     		ty = 12976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16752 / 12976 ti = "17/16752/12976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16752/12976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16752 ÷ 217
    16752 ÷ 131072     		x = 0.1278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12976 ÷ 217
    12976 ÷ 131072     		y = 0.0989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33855371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0989990234375 × 2 - 1) × π
    0.802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51956344403015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33855371} λ = -2.33855371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51956344403015))-π/2
    2×atan(12.4231720696628)-π/2
    2×1.49047476711266-π/2
    2.98094953422531-1.57079632675     		φ = 1.41015321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33855371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41015321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.795827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16752 KachelY 12976 -2.33855371 1.41015321 -133.989258 80.795827
    Oben rechts KachelX + 1 16753 KachelY 12976 -2.33850577 1.41015321 -133.986511 80.795827
    Unten links KachelX 16752 KachelY + 1 12977 -2.33855371 1.41014554 -133.989258 80.795388
    Unten rechts KachelX + 1 16753 KachelY + 1 12977 -2.33850577 1.41014554 -133.986511 80.795388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41015321-1.41014554) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41015321-1.41014554) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33855371--2.33850577) × cos(1.41015321) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159953076069858 × 6371000     		do = 48.8537866238806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33855371--2.33850577) × cos(1.41014554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159960647310981 × 6371000     		du = 48.8560990758033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41015321)-sin(1.41014554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159953076069858-0.159960647310981)×R²
    abs(-2.33850577--2.33855371)×7.57124112282792e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57124112282792e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57124112282792e-06×40589641000000     		ar = 2387.32462969993m²