Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16750 / 50018
↖ ↑ ↗
← N 39.159882°
W133.994751°		 ← 236.77 m → N 39.159882°
W133.992005°		 →
↑
236.81 m
↓
↑
236.81 m
↓
N 39.157752°
W133.994751°		 ← 236.78 m →
56 071 m²		 N 39.157752°
W133.992005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127796173095703 y=0.381610870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127796173095703 × 217)
    floor (0.127796173095703 × 131072)
    floor (16750.5)     		tx = 16750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381610870361328 × 217)
    floor (0.381610870361328 × 131072)
    floor (50018.5)     		ty = 50018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16750 / 50018 ti = "17/16750/50018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16750/50018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16750 ÷ 217
    16750 ÷ 131072     		x = 0.127792358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50018 ÷ 217
    50018 ÷ 131072     		y = 0.381607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127792358398438 × 2 - 1) × π
    -0.744415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33864958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381607055664062 × 2 - 1) × π
    0.236785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.743884808304031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33864958} λ = -2.33864958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743884808304031))-π/2
    2×atan(2.10409365833822)-π/2
    2×1.127132599872-π/2
    2.25426519974401-1.57079632675     		φ = 0.68346887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33864958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68346887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.159882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16750 KachelY 50018 -2.33864958 0.68346887 -133.994751 39.159882
    Oben rechts KachelX + 1 16751 KachelY 50018 -2.33860165 0.68346887 -133.992005 39.159882
    Unten links KachelX 16750 KachelY + 1 50019 -2.33864958 0.68343170 -133.994751 39.157752
    Unten rechts KachelX + 1 16751 KachelY + 1 50019 -2.33860165 0.68343170 -133.992005 39.157752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68346887-0.68343170) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dl = 236.810070000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68346887-0.68343170) × R
    3.71700000000308e-05 × 6371000     		dr = 236.810070000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33864958--2.33860165) × cos(0.68346887) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.775386843583579 × 6371000     		do = 236.773700589925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33864958--2.33860165) × cos(0.68343170) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.775410315402407 × 6371000     		du = 236.78086799217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68346887)-sin(0.68343170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775386843583579-0.775410315402407)×R²
    abs(-2.33860165--2.33864958)×2.34718188278915e-05×R²
    4.79299999995852e-05×2.34718188278915e-05×6371000²
    4.79299999995852e-05×2.34718188278915e-05×40589641000000     		ar = 56071.2452739178m²