Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1675 / 675
↖ ↑ ↗
← N 52.160454°
E114.433594°		 ← 11.991 km → N 52.160454°
E114.609375°		 →
↑
12.005 km
↓
↑
12.005 km
↓
N 52.052490°
E114.433594°		 ← 12.020 km →
144.122 km²		 N 52.052490°
E114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818115234375 y=0.329833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818115234375 × 211)
    floor (0.818115234375 × 2048)
    floor (1675.5)     		tx = 1675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329833984375 × 211)
    floor (0.329833984375 × 2048)
    floor (675.5)     		ty = 675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1675 / 675 ti = "11/1675/675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1675/675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1675 ÷ 211
    1675 ÷ 2048     		x = 0.81787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 675 ÷ 211
    675 ÷ 2048     		y = 0.32958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81787109375 × 2 - 1) × π
    0.6357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99724299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32958984375 × 2 - 1) × π
    0.3408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07071858991357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99724299} λ = 1.99724299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07071858991357))-π/2
    2×atan(2.91747521516964)-π/2
    2×1.24058399907285-π/2
    2.48116799814569-1.57079632675     		φ = 0.91037167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99724299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91037167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.160454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1675 KachelY 675 1.99724299 0.91037167 114.433594 52.160454
    Oben rechts KachelX + 1 1676 KachelY 675 2.00031095 0.91037167 114.609375 52.160454
    Unten links KachelX 1675 KachelY + 1 676 1.99724299 0.90848734 114.433594 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 1676 KachelY + 1 676 2.00031095 0.90848734 114.609375 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91037167-0.90848734) × R
    0.00188432999999999 × 6371000     		dl = 12005.0664299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91037167-0.90848734) × R
    0.00188432999999999 × 6371000     		dr = 12005.0664299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99724299-2.00031095) × cos(0.91037167) × R
    0.00306795999999987 × 0.613452272249651 × 6371000     		do = 11990.5216483322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99724299-2.00031095) × cos(0.90848734) × R
    0.00306795999999987 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 12019.587005766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91037167)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613452272249651-0.614939297592205)×R²
    abs(2.00031095-1.99724299)×0.00148702534255385×R²
    0.00306795999999987×0.00148702534255385×6371000²
    0.00306795999999987×0.00148702534255385×40589641000000     		ar = 144121517.336339m²