Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16745 / 49736
↖ ↑ ↗
← N 39.757880°
W134.008484°		 ← 234.80 m → N 39.757880°
W134.005737°		 →
↑
234.77 m
↓
↑
234.77 m
↓
N 39.755769°
W134.008484°		 ← 234.80 m →
55 125 m²		 N 39.755769°
W134.005737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127758026123047 y=0.379459381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127758026123047 × 217)
    floor (0.127758026123047 × 131072)
    floor (16745.5)     		tx = 16745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379459381103516 × 217)
    floor (0.379459381103516 × 131072)
    floor (49736.5)     		ty = 49736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16745 / 49736 ti = "17/16745/49736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16745/49736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16745 ÷ 217
    16745 ÷ 131072     		x = 0.127754211425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49736 ÷ 217
    49736 ÷ 131072     		y = 0.37945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127754211425781 × 2 - 1) × π
    -0.744491577148438 × 3.1415926535     		Λ = -2.33888927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.757403013996887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33888927} λ = -2.33888927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757403013996887))-π/2
    2×atan(2.13273035147045)-π/2
    2×1.13235111812591-π/2
    2.26470223625181-1.57079632675     		φ = 0.69390591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33888927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.008484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69390591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.757880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16745 KachelY 49736 -2.33888927 0.69390591 -134.008484 39.757880
    Oben rechts KachelX + 1 16746 KachelY 49736 -2.33884133 0.69390591 -134.005737 39.757880
    Unten links KachelX 16745 KachelY + 1 49737 -2.33888927 0.69386906 -134.008484 39.755769
    Unten rechts KachelX + 1 16746 KachelY + 1 49737 -2.33884133 0.69386906 -134.005737 39.755769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69390591-0.69386906) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dl = 234.771349999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69390591-0.69386906) × R
    3.68499999999772e-05 × 6371000     		dr = 234.771349999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33888927--2.33884133) × cos(0.69390591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768753881265084 × 6371000     		do = 234.797223063106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33888927--2.33884133) × cos(0.69386906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.768777447966666 × 6371000     		du = 234.804420940376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69390591)-sin(0.69386906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768753881265084-0.768777447966666)×R²
    abs(-2.33884133--2.33888927)×2.35667015822116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35667015822116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35667015822116e-05×40589641000000     		ar = 55124.5059686075m²