Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16745 / 12249
↖ ↑ ↗
← N 41.302571°
E  3.966064°		 ← 917.74 m → N 41.302571°
E  3.977051°		 →
↑
917.81 m
↓
↑
917.81 m
↓
N 41.294317°
E  3.966064°		 ← 917.85 m →
842 359 m²		 N 41.294317°
E  3.977051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511032104492188 y=0.373825073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511032104492188 × 215)
    floor (0.511032104492188 × 32768)
    floor (16745.5)     		tx = 16745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373825073242188 × 215)
    floor (0.373825073242188 × 32768)
    floor (12249.5)     		ty = 12249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16745 / 12249 ti = "15/16745/12249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16745/12249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16745 ÷ 215
    16745 ÷ 32768     		x = 0.511016845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12249 ÷ 215
    12249 ÷ 32768     		y = 0.373809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511016845703125 × 2 - 1) × π
    0.02203369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06922088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373809814453125 × 2 - 1) × π
    0.25238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.792876319715729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06922088} λ = 0.06922088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792876319715729))-π/2
    2×atan(2.20974322216975)-π/2
    2×1.14583109095627-π/2
    2.29166218191254-1.57079632675     		φ = 0.72086586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06922088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.966064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72086586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.302571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16745 KachelY 12249 0.06922088 0.72086586 3.966064 41.302571
    Oben rechts KachelX + 1 16746 KachelY 12249 0.06941263 0.72086586 3.977051 41.302571
    Unten links KachelX 16745 KachelY + 1 12250 0.06922088 0.72072180 3.966064 41.294317
    Unten rechts KachelX + 1 16746 KachelY + 1 12250 0.06941263 0.72072180 3.977051 41.294317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72086586-0.72072180) × R
    0.000144060000000001 × 6371000     		dl = 917.806260000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72086586-0.72072180) × R
    0.000144060000000001 × 6371000     		dr = 917.806260000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06922088-0.06941263) × cos(0.72086586) × R
    0.000191750000000004 × 0.751234512580712 × 6371000     		do = 917.737566523238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06922088-0.06941263) × cos(0.72072180) × R
    0.000191750000000004 × 0.751329589482399 × 6371000     		du = 917.853716198107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72086586)-sin(0.72072180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751234512580712-0.751329589482399)×R²
    abs(0.06941263-0.06922088)×9.50769016869746e-05×R²
    0.000191750000000004×9.50769016869746e-05×6371000²
    0.000191750000000004×9.50769016869746e-05×40589641000000     		ar = 842358.5864987m²