Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16744 / 12252
↖ ↑ ↗
← N 41.277806°
E  3.955078°		 ← 918.04 m → N 41.277806°
E  3.966064°		 →
↑
918.12 m
↓
↑
918.12 m
↓
N 41.269550°
E  3.955078°		 ← 918.15 m →
842 927 m²		 N 41.269550°
E  3.966064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511001586914062 y=0.373916625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511001586914062 × 215)
    floor (0.511001586914062 × 32768)
    floor (16744.5)     		tx = 16744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373916625976562 × 215)
    floor (0.373916625976562 × 32768)
    floor (12252.5)     		ty = 12252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16744 / 12252 ti = "15/16744/12252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16744/12252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16744 ÷ 215
    16744 ÷ 32768     		x = 0.510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12252 ÷ 215
    12252 ÷ 32768     		y = 0.3739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510986328125 × 2 - 1) × π
    0.02197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06902914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3739013671875 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.792301076920288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06902914} λ = 0.06902914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792301076920288))-π/2
    2×atan(2.20847244883807)-π/2
    2×1.14561497881735-π/2
    2.2912299576347-1.57079632675     		φ = 0.72043363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06902914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72043363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.277806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16744 KachelY 12252 0.06902914 0.72043363 3.955078 41.277806
    Oben rechts KachelX + 1 16745 KachelY 12252 0.06922088 0.72043363 3.966064 41.277806
    Unten links KachelX 16744 KachelY + 1 12253 0.06902914 0.72028952 3.955078 41.269550
    Unten rechts KachelX + 1 16745 KachelY + 1 12253 0.06922088 0.72028952 3.966064 41.269550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72043363-0.72028952) × R
    0.000144110000000031 × 6371000     		dl = 918.124810000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72043363-0.72028952) × R
    0.000144110000000031 × 6371000     		dr = 918.124810000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06902914-0.06922088) × cos(0.72043363) × R
    0.000191739999999996 × 0.751519729491663 × 6371000     		do = 918.038119374412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06902914-0.06922088) × cos(0.72028952) × R
    0.000191739999999996 × 0.751614792584467 × 6371000     		du = 918.154246123338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72043363)-sin(0.72028952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751519729491663-0.751614792584467)×R²
    abs(0.06922088-0.06902914)×9.50630928034935e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50630928034935e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50630928034935e-05×40589641000000     		ar = 842926.884806986m²