Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16743 / 49718
↖ ↑ ↗
← N 39.795876°
W134.013977°		 ← 234.62 m → N 39.795876°
W134.011231°		 →
↑
234.71 m
↓
↑
234.71 m
↓
N 39.793765°
W134.013977°		 ← 234.63 m →
55 068 m²		 N 39.793765°
W134.011231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127742767333984 y=0.379322052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127742767333984 × 217)
    floor (0.127742767333984 × 131072)
    floor (16743.5)     		tx = 16743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379322052001953 × 217)
    floor (0.379322052001953 × 131072)
    floor (49718.5)     		ty = 49718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16743 / 49718 ti = "17/16743/49718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16743/49718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16743 ÷ 217
    16743 ÷ 131072     		x = 0.127738952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49718 ÷ 217
    49718 ÷ 131072     		y = 0.379318237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127738952636719 × 2 - 1) × π
    -0.744522094726562 × 3.1415926535     		Λ = -2.33898514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379318237304688 × 2 - 1) × π
    0.241363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.758265878190048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33898514} λ = -2.33898514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758265878190048))-π/2
    2×atan(2.13457140229859)-π/2
    2×1.13268269170425-π/2
    2.26536538340851-1.57079632675     		φ = 0.69456906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33898514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.013977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69456906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.795876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16743 KachelY 49718 -2.33898514 0.69456906 -134.013977 39.795876
    Oben rechts KachelX + 1 16744 KachelY 49718 -2.33893721 0.69456906 -134.011231 39.795876
    Unten links KachelX 16743 KachelY + 1 49719 -2.33898514 0.69453222 -134.013977 39.793765
    Unten rechts KachelX + 1 16744 KachelY + 1 49719 -2.33893721 0.69453222 -134.011231 39.793765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69456906-0.69453222) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dl = 234.707639999534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69456906-0.69453222) × R
    3.68399999999269e-05 × 6371000     		dr = 234.707639999534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33898514--2.33893721) × cos(0.69456906) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768329598167488 × 6371000     		do = 234.618685805652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33898514--2.33893721) × cos(0.69453222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.768353177250012 × 6371000     		du = 234.625885962157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69456906)-sin(0.69453222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768329598167488-0.768353177250012)×R²
    abs(-2.33893721--2.33898514)×2.3579082524039e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3579082524039e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3579082524039e-05×40589641000000     		ar = 55067.6430174706m²