Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 16742 / 50743
↖ ↑ ↗
← S 69.761857°
W 88.033447°		 ← 211.31 m → S 69.761857°
W 88.027954°		 →
↑
211.33 m
↓
↑
211.33 m
↓
S 69.763757°
W 88.033447°		 ← 211.29 m →
44 653 m²		 S 69.763757°
W 88.027954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255470275878906 y=0.774284362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255470275878906 × 216)
    floor (0.255470275878906 × 65536)
    floor (16742.5)     		tx = 16742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774284362792969 × 216)
    floor (0.774284362792969 × 65536)
    floor (50743.5)     		ty = 50743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16742 / 50743 ti = "16/16742/50743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16742/50743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16742 ÷ 216
    16742 ÷ 65536     		x = 0.255462646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50743 ÷ 216
    50743 ÷ 65536     		y = 0.774276733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255462646484375 × 2 - 1) × π
    -0.48907470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.53647351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774276733398438 × 2 - 1) × π
    -0.548553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72333154134102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53647351} λ = -1.53647351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72333154134102))-π/2
    2×atan(0.178470574276906)-π/2
    2×0.17661111670453-π/2
    0.35322223340906-1.57079632675     		φ = -1.21757409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53647351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.033447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21757409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.761857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16742 KachelY 50743 -1.53647351 -1.21757409 -88.033447 -69.761857
    Oben rechts KachelX + 1 16743 KachelY 50743 -1.53637763 -1.21757409 -88.027954 -69.761857
    Unten links KachelX 16742 KachelY + 1 50744 -1.53647351 -1.21760726 -88.033447 -69.763757
    Unten rechts KachelX + 1 16743 KachelY + 1 50744 -1.53637763 -1.21760726 -88.027954 -69.763757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21757409--1.21760726) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dl = 211.326070000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21757409--1.21760726) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dr = 211.326070000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53647351--1.53637763) × cos(-1.21757409) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345922903417145 × 6371000     		do = 211.307517518122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53647351--1.53637763) × cos(-1.21760726) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345891781045125 × 6371000     		du = 211.288506371112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21757409)-sin(-1.21760726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345922903417145-0.345891781045125)×R²
    abs(-1.53637763--1.53647351)×3.1122372020298e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1122372020298e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1122372020298e-05×40589641000000     		ar = 44652.7784671957m²