Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16740 / 12236
↖ ↑ ↗
← N 41.409776°
E  3.911133°		 ← 916.18 m → N 41.409776°
E  3.922119°		 →
↑
916.28 m
↓
↑
916.28 m
↓
N 41.401536°
E  3.911133°		 ← 916.30 m →
839 528 m²		 N 41.401536°
E  3.922119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510879516601562 y=0.373428344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510879516601562 × 215)
    floor (0.510879516601562 × 32768)
    floor (16740.5)     		tx = 16740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373428344726562 × 215)
    floor (0.373428344726562 × 32768)
    floor (12236.5)     		ty = 12236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16740 / 12236 ti = "15/16740/12236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16740/12236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16740 ÷ 215
    16740 ÷ 32768     		x = 0.5108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12236 ÷ 215
    12236 ÷ 32768     		y = 0.3734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5108642578125 × 2 - 1) × π
    0.021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06826215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3734130859375 × 2 - 1) × π
    0.253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.795369038495972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06826215} λ = 0.06826215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.795369038495972))-π/2
    2×atan(2.21525836158921)-π/2
    2×1.14676662877959-π/2
    2.29353325755919-1.57079632675     		φ = 0.72273693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06826215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72273693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.409776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16740 KachelY 12236 0.06826215 0.72273693 3.911133 41.409776
    Oben rechts KachelX + 1 16741 KachelY 12236 0.06845389 0.72273693 3.922119 41.409776
    Unten links KachelX 16740 KachelY + 1 12237 0.06826215 0.72259311 3.911133 41.401536
    Unten rechts KachelX + 1 16741 KachelY + 1 12237 0.06845389 0.72259311 3.922119 41.401536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72273693-0.72259311) × R
    0.000143820000000017 × 6371000     		dl = 916.277220000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72273693-0.72259311) × R
    0.000143820000000017 × 6371000     		dr = 916.277220000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06826215-0.06845389) × cos(0.72273693) × R
    0.00019174000000001 × 0.749998225897634 × 6371000     		do = 916.179487799991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06826215-0.06845389) × cos(0.72259311) × R
    0.00019174000000001 × 0.750093346418455 × 6371000     		du = 916.295684701578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72273693)-sin(0.72259311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749998225897634-0.750093346418455)×R²
    abs(0.06845389-0.06826215)×9.51205208213901e-05×R²
    0.00019174000000001×9.51205208213901e-05×6371000²
    0.00019174000000001×9.51205208213901e-05×40589641000000     		ar = 839527.629836894m²