Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16739 / 50785
↖ ↑ ↗
← S 69.841515°
W 88.049927°		 ← 210.51 m → S 69.841515°
W 88.044433°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 69.843408°
W 88.049927°		 ← 210.49 m →
44 310 m²		 S 69.843408°
W 88.044433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255424499511719 y=0.774925231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255424499511719 × 216)
    floor (0.255424499511719 × 65536)
    floor (16739.5)     		tx = 16739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774925231933594 × 216)
    floor (0.774925231933594 × 65536)
    floor (50785.5)     		ty = 50785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16739 / 50785 ti = "16/16739/50785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16739/50785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16739 ÷ 216
    16739 ÷ 65536     		x = 0.255416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50785 ÷ 216
    50785 ÷ 65536     		y = 0.774917602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.489166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53676113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774917602539062 × 2 - 1) × π
    -0.549835205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7273582409091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53676113} λ = -1.53676113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7273582409091))-π/2
    2×atan(0.177753371840997)-π/2
    2×0.175915967132836-π/2
    0.351831934265671-1.57079632675     		φ = -1.21896439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53676113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.049927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21896439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.841515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16739 KachelY 50785 -1.53676113 -1.21896439 -88.049927 -69.841515
    Oben rechts KachelX + 1 16740 KachelY 50785 -1.53666525 -1.21896439 -88.044433 -69.841515
    Unten links KachelX 16739 KachelY + 1 50786 -1.53676113 -1.21899743 -88.049927 -69.843408
    Unten rechts KachelX + 1 16740 KachelY + 1 50786 -1.53666525 -1.21899743 -88.044433 -69.843408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21896439--1.21899743) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21896439--1.21899743) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53676113--1.53666525) × cos(-1.21896439) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344618102548639 × 6371000     		do = 210.51047797649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53676113--1.53666525) × cos(-1.21899743) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344587086292822 × 6371000     		du = 210.49153165072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21896439)-sin(-1.21899743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344618102548639-0.344587086292822)×R²
    abs(-1.53666525--1.53676113)×3.1016255817029e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1016255817029e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1016255817029e-05×40589641000000     		ar = 44310.0068351302m²